Упр.1073 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1073. При каких значениях а неравенство (x-a)^2 (x-2) > (x-a)^2 равносильно неравенству x-2 > 1?

Преобразуем неравенство:

$$ (x-a)^2(x-2) > (x-a)^2 $$

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель:

$$ (x-a)^2(x-2)-(x-a)^2 > 0 $$

$$ (x-a)^2\bigl((x-2)-1\bigr) > 0 $$

$$ (x-a)^2(x-3) > 0 $$

Так как $$ (x-a)^2 \ge 0 $$ при любых $$x$$ и равно нулю только при $$x=a$$, то неравенство равносильно

$$ x-3>0,\quad x\ne a. $$

Чтобы это было равносильно неравенству $$x-2>1$$, нужно, чтобы оно тоже сводилось к условию

$$ x>3. $$

Это возможно тогда и только тогда, когда исключённая точка $$x=a$$ не попадает в область решений $$x>3$$, то есть

$$ a\le 3. $$

Ответ

$$ a\in(-\infty;3]. $$