Упр.1070 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1070. При каких значениях параметра а предикат !(A(x)) будет тождеством, если: а) A(x): x?ax+4; б) A(x): a^2+x^2 < 2x.

а) Предикат $$\neg A(x)$$ должен быть тождественно истинным, если

$$A(x):\ x \ge ax+4.$$

Тогда

$$\neg A(x):\ x < ax+4.$$

Чтобы это неравенство было верным при любом $$x$$, преобразуем его:

$$x-ax<4$$

$$x(1-a)<4.$$

Это возможно для всех $$x$$ только при

$$1-a=0,$$

то есть

$$a=1.$$

б) Пусть

$$A(x):\ a^2+x^2<2x.$$

Тогда

$$\neg A(x):\ a^2+x^2\ge 2x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^2-2x+a^2\ge 0.$$

Чтобы это неравенство было тождеством, квадратный трёхчлен должен быть неотрицателен при всех $$x$$. Для этого его дискриминант не должен быть положительным:

$$D= (-2)^2-4\cdot 1\cdot a^2=4-4a^2\le 0.$$

Отсюда

$$1-a^2\le 0,$$

$$a^2\ge 1,$$

$$a\le -1 \quad \text{или} \quad a\ge 1.$$

Ответ

а) $$a=1$$; б) $$a\in(-\infty;\,-1]\cup[1;\,+\infty).$$