Упр.1067 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) A(x): 3x^2-|x|-4?0; б) A(x): (3x^2-|x|-4)/(4x^2-|x|-3)?0.

Подробный ответ

Предикат $$\neg A(x)$$ истинный тогда и только тогда, когда само высказывание $$A(x)$$ ложно.

а) $$A(x): 3x^2-|x|-4\le 0.$$
Тогда $$\neg A(x): 3x^2-|x|-4>0.$$
Рассмотрим случаи.
Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и получаем
$$3x^2-x-4>0.$$
Найдём корни уравнения $$3x^2-x-4=0$$:
$$D=1+48=49,$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 7}{6},$$
откуда $$x_1=-1,\quad x_2=\frac{4}{3}.$$
При $$x\ge 0$$ имеем $$3x^2-x-4>0$$ при $$x>\frac{4}{3}.$$
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и
$$3x^2+x-4>0.$$
Корни уравнения $$3x^2+x-4=0$$:
$$D=1+48=49,$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{6},$$
откуда $$x_1=-\frac{4}{3},\quad x_2=1.$$
При $$x<0$$ получаем $$x<-\frac{4}{3}.$$
Итак,
$$x<-\frac{4}{3}\ \text{или}\ x>\frac{4}{3}.$$
б) $$A(x): \frac{3x^2-|x|-4}{4x^2-|x|-3}\ge 0.$$
Тогда $$\neg A(x): \frac{3x^2-|x|-4}{4x^2-|x|-3}<0.$$
Рассмотрим случаи.
Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и
$$\frac{3x^2-x-4}{4x^2-x-3}<0.$$
Разложим на множители:
$$3x^2-x-4=(3x-4)(x+1),$$
$$4x^2-x-3=(4x-3)(x+1).$$
Тогда при $$x\ge 0$$ и $$x\ne -1$$ имеем
$$\frac{(3x-4)(x+1)}{(4x-3)(x+1)}=\frac{3x-4}{4x-3}<0.$$
Знаки меняются в точках $$x=\frac{3}{4}$$ и $$x=\frac{4}{3},$$ поэтому
$$\frac{3}{4}<x<\frac{4}{3}.$$
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и
$$\frac{3x^2+x-4}{4x^2+x-3}<0.$$
Разложим:
$$3x^2+x-4=(3x+4)(x-1),$$
$$4x^2+x-3=(4x+3)(x-1).$$
Тогда
$$\frac{3x+4}{4x+3}<0.$$
Знаки меняются в точках $$x=-\frac{4}{3}$$ и $$x=-\frac{3}{4},$$ значит
$$-\frac{4}{3}<x<-\frac{3}{4}.$$
С учётом условия $$x<0$$ получаем тот же промежуток.
Итак,
$$-\frac{4}{3}<x<-\frac{3}{4}\ \text{или}\ \frac{3}{4}<x<\frac{4}{3}.$$