Упр.106 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) y=(x-1)(x-5); б) y=(x+2)(x-4).
Найдите промежутки, в которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения.

а) $$y=(x-1)(x-5)$$

Найдём нули функции:

$$ (x-1)(x-5)=0 $$

$$ x_1=1,\quad x_2=5 $$

Координаты вершины параболы:

$$ x_0=\frac{1+5}{2}=3 $$

$$ y_0=(3-1)(3-5)=2\cdot(-2)=-4 $$

Значит, вершина имеет координаты $$ (3,-4) $$, а ветви параболы направлены вверх.

Для построения можно взять ещё точку:

$$ y(0)=(-1)\cdot(-5)=5 $$

Тогда симметричная ей точка относительно оси $$x=3$$ имеет абсциссу $$6$$, и $$y(6)=5$$.

Следовательно, график — парабола, пересекающая ось $$Ox$$ в точках $$1$$ и $$5$$, с вершиной $$ (3,-4) $$.

Так как ветви направлены вверх, то:

$$ y>0 \text{ при } x<1 \text{ и } x>5, $$

$$ y<0 \text{ при } 1<x<5. $$

б) $$y=(x+2)(x-4)$$

Найдём нули функции:

$$ (x+2)(x-4)=0 $$

$$ x_1=-2,\quad x_2=4 $$

Координаты вершины параболы:

$$ x_0=\frac{-2+4}{2}=1 $$

$$ y_0=(1+2)(1-4)=3\cdot(-3)=-9 $$

Значит, вершина имеет координаты $$ (1,-9) $$, а ветви параболы направлены вверх.

Для построения можно взять ещё точку:

$$ y(0)=2\cdot(-4)=-8 $$

Тогда симметричная ей точка относительно оси $$x=1$$ имеет абсциссу $$2$$, и $$y(2)=-8$$.

Следовательно, график — парабола, пересекающая ось $$Ox$$ в точках $$-2$$ и $$4$$, с вершиной $$ (1,-9) $$.

Так как ветви направлены вверх, то:

$$ y>0 \text{ при } x<-2 \text{ и } x>4, $$

$$ y<0 \text{ при } -2<x<4. $$

Ответ

а) $$y>0$$ при $$x<1$$ и $$x>5$$; $$y<0$$ при $$1<x<5$$.

б) $$y>0$$ при $$x<-2$$ и $$x>4$$; $$y<0$$ при $$-2<x<4$$.