Упр.1055 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1055. При каком значении переменной а предикат ax^2-2|x|+4?0 будет тождественно истинным?

Рассмотрим предикат $$ax^2-2|x|+4\ge 0.$$

Положим $$t=|x|,\quad t\ge 0.$$ Тогда $$x^2=t^2,$$ и неравенство примет вид

$$at^2-2t+4\ge 0.$$

Чтобы оно было тождественно истинным при всех $$t\ge 0,$$ квадратный трёхчлен не должен принимать отрицательных значений. Для этого достаточно, чтобы:

1) ветви параболы были направлены вверх: $$a>0;$$

2) дискриминант был неположительным:

$$D=(-2)^2-4\cdot a\cdot 4=4-16a=4(1-4a)\le 0.$$

Отсюда

$$1-4a\le 0,\qquad a\ge \frac14.$$

Совмещая с условием $$a>0,$$ получаем

$$a\ge \frac14.$$

Ответ

$$a\in\left[\frac14;+\infty\right).$$