Упр.1053 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Возможно ли, чтобы при каком-нибудь значении $$a$$ было верным равенство:
   а) $$\sin\frac{\pi}{4}=a^2+1$$;
   в) $$\sin\frac{7\pi}{6}=\frac{1}{3}a^2+\frac{1}{2}$$;
   б) $$\cos\frac{6\pi}{5}=a^2-1$$;
   г) $$\cos\frac{4\pi}{5}=\frac{1}{(a-1)(a+1)}$$?
2. Найдите множество решений неравенства $$x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}<\frac{4}{\sqrt{x}-1}$$.

Пусть $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$t>0$$ и $$x=t^2$$. Неравенство примет вид

$$t+\frac{1}{t}<\frac{4}{t}-1.$$

Умножим обе части на $$t>0$$:

$$t^2+1<4-t,$$

$$t^2+t-3<0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=1+12=13,$$

$$t_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}.$$

Так как $$t>0$$, подходит только промежуток между корнями, пересечённый с областью допустимых значений:

$$0<t<\frac{-1+\sqrt{13}}{2}.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем

$$0<\sqrt{x}<\frac{-1+\sqrt{13}}{2},$$

$$0<x<\left(\frac{\sqrt{13}-1}{2}\right)^2=\frac{7-\sqrt{13}}{2}.$$

Ответ

$$\left(0;\frac{7-\sqrt{13}}{2}\right).$$