Упр.1053 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1053. Найдите множество решений неравенства x^(1/2)+x^(-1/2) < 4/vx-1.

Пусть $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$t>0$$ и $$x=t^2$$. Неравенство примет вид

$$t+\frac{1}{t}<\frac{4}{t}-1.$$

Умножим обе части на $$t>0$$:

$$t^2+1<4-t,$$

$$t^2+t-3<0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=1+12=13,$$

$$t_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}.$$

Так как $$t>0$$, подходит только промежуток между корнями, пересечённый с областью допустимых значений:

$$0<t<\frac{-1+\sqrt{13}}{2}.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем

$$0<\sqrt{x}<\frac{-1+\sqrt{13}}{2},$$

$$0<x<\left(\frac{\sqrt{13}-1}{2}\right)^2=\frac{7-\sqrt{13}}{2}.$$

Ответ

$$\left(0;\frac{7-\sqrt{13}}{2}\right).$$