Упр.1052 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Может ли при каком-нибудь значении $$x$$ быть верным равенство: а) $$\sin(x)=-\frac{1}{3}$$?; в) $$\sin(x)=1-\sqrt{2}$$; б) $$\cos(x)=3-\sqrt{3}$$; г) $$\cos(x)=\sqrt{2}-1$$?
2. Решите относительно $$x$$ неравенство $$2x+\sqrt{a^2-x^2}>0$$, где $$a>0$$.

Рассмотрим неравенство

$$2x+\sqrt{a^2-x^2}>0,\qquad a>0.$$

Перенесём $$2x$$ вправо:

$$\sqrt{a^2-x^2}>-2x.$$

Так как левая часть неотрицательна, удобно рассмотреть два случая.

1) $$x>0$$. Тогда правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, значит неравенство выполняется при всех $$x$$, для которых выражение под корнем определено:

$$a^2-x^2\ge 0 \;\;\Longrightarrow\;\; -a\le x\le a.$$

С учётом $$x>0$$ получаем

$$0<x\le a.$$

2) $$x\le 0$$. Тогда можно возвести обе части в квадрат:

$$a^2-x^2>4x^2,$$

$$5x^2-a^2<0,$$

$$x^2<\frac{a^2}{5},$$

$$-\frac{a}{\sqrt5}<x<\frac{a}{\sqrt5}.$$

С учётом условия $$x\le 0$$ получаем

$$-\frac{a}{\sqrt5}<x\le 0.$$

Объединяя оба случая, имеем

$$-\frac{a}{\sqrt5}<x\le a.$$

Ответ

$$-\frac{a}{\sqrt5}<x\le a.$$