Упр.1052 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1052. Решите относительно х неравенство 2x+v(a^2-x^2) > 0, где a > 0.

Рассмотрим неравенство

$$2x+\sqrt{a^2-x^2}>0,\qquad a>0.$$

Перенесём $2x$ вправо:

$$\sqrt{a^2-x^2}>-2x.$$

Так как левая часть неотрицательна, удобно рассмотреть два случая.

1) $x>0$. Тогда правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, значит неравенство выполняется при всех $x$, для которых выражение под корнем определено:

$$a^2-x^2\ge 0 \;\;\Longrightarrow\;\; -a\le x\le a.$$

С учётом $x>0$ получаем

$$0<x\le a.$$

2) $x\le 0$. Тогда можно возвести обе части в квадрат:

$$a^2-x^2>4x^2,$$

$$5x^2-a^2<0,$$

$$x^2<\frac{a^2}{5},$$

$$-\frac{a}{\sqrt5}<x<\frac{a}{\sqrt5}.$$

С учётом условия $x\le 0$ получаем

$$-\frac{a}{\sqrt5}<x\le 0.$$

Объединяя оба случая, имеем

$$-\frac{a}{\sqrt5}<x\le a.$$

Ответ

$$-\frac{a}{\sqrt5}<x\le a.$$