Упр.1051 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) v(x-2) < a; б) v(3x-1) > a.

а) $$\sqrt{x-2}<a$$

Возведём обе части в квадрат. Это возможно только при $$a>0$$:

$$x-2<a^2$$

$$x<a^2+2$$

При этом подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$x-2\ge 0,\quad x\ge 2$$

Если $$a\le 0$$, то неравенство решений не имеет, так как $$\sqrt{x-2}\ge 0$$.

Если $$a>0$$, то с учётом области определения получаем:

$$2\le x<a^2+2$$

б) $$\sqrt{3x-1}>a$$

Если $$a<0$$, то неравенство верно при всех значениях $$x$$ из области определения, так как $$\sqrt{3x-1}\ge 0$$.

Область определения:

$$3x-1\ge 0,\quad x\ge \frac13$$

Если $$a\ge 0$$, возведём обе части в квадрат:

$$3x-1>a^2$$

$$3x>a^2+1$$

$$x>\frac{a^2+1}{3}$$

С учётом области определения получаем:

$$x>\frac{a^2+1}{3}$$

Ответ

а) если $$a\le 0$$, то решений нет; если $$a>0$$, то $$x\in[2;\,a^2+2)$$.

б) если $$a<0$$, то $$x\in\left[\frac13;\,+\infty\right)$$; если $$a\ge 0$$, то $$x\in\left(\frac{a^2+1}{3};\,+\infty\right)$$.