Упр.1050 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1050. Решите неравенство 2x(x-1)+1 > v(x^2-x+1).

Преобразуем неравенство:

$$2x(x-1)+1>\sqrt{x^2-x+1}$$

$$2x^2-2x+1>\sqrt{x^2-x+1}$$

Сделаем замену:

$$y=x^2-x+1.$$

Тогда получаем

$$2y-1>\sqrt{y}.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$2y-\sqrt{y}-1>0.$$

Обозначим $$t=\sqrt{y}$$, тогда $$t\ge 0$$ и

$$2t^2-t-1>0.$$

Разложим на множители:

$$2t^2-t-1=(2t+1)(t-1).$$

Так как $$t\ge 0$$, то множитель $$2t+1>0$$ всегда, значит

$$t-1>0,$$

то есть

$$\sqrt{y}>1 \quad \Longrightarrow \quad y>1.$$

Возвращаемся к замене:

$$x^2-x+1>1$$

$$x^2-x>0$$

$$x(x-1)>0.$$

Произведение положительно, когда оба множителя одного знака:

$$x<0 \quad \text{или} \quad x>1.$$

Ответ

$$(-\infty;0)\cup(1;+\infty).$$