Упр.1048 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите три значения $$?$$, при которых:
   а) $$\sin(?)=0$$;
   б) $$\cos(?)=0$$;
   в) $$\sin(?)=1$$;
   г) $$\operatorname{tg}(?)=1$$;
   д) $$\cos(?)=-1$$;
   е) $$\operatorname{ctg}(?)=-1$$;
   ж) $$\sin(?)=-1$$;
   з) $$\operatorname{tg}(?)=-1$$.
2. Решите неравенство:
   а) $$(x-1)^{\frac{1}{7}}+(x+1)^{\frac{1}{7}}? \frac{|x|}{x}\,2^{\frac{1}{7}}$$;
   б) $$(x-3)^{\frac{1}{5}}+(x+3)^{\frac{1}{5}}? \frac{|x|}{x}\,6^{\frac{1}{5}}$$.

а) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt[7]{x-1}+\sqrt[7]{x+1}\le \frac{|x|}{x}\sqrt[7]{2}.$$

Левая часть определена при всех $$x$$, так как корень с нечётным показателем существует для любых действительных чисел. Обозначим

$$f(x)=\sqrt[7]{x-1}+\sqrt[7]{x+1}.$$

Функция $$f(x)$$ возрастает на всей числовой прямой. Поэтому достаточно сравнить значения при $$x=-1$$ и $$x=1$$:

$$f(-1)=\sqrt[7]{-2}+\sqrt[7]{0}=-\sqrt[7]{2},$$

$$f(1)=\sqrt[7]{0}+\sqrt[7]{2}=\sqrt[7]{2}.$$

Правая часть зависит от знака $$x$$:

$$\frac{|x|}{x}\sqrt[7]{2}= \begin{cases} -\sqrt[7]{2}, & x<0,\\ \sqrt[7]{2}, & x>0. \end{cases}$$

Так как $$f(x)$$ возрастает, то неравенство выполняется при

$$x\le -1 \quad \text{или} \quad 0<x\le 1.$$

При $$x=0$$ выражение $$\dfrac{|x|}{x}$$ не определено, поэтому $$x=0$$ не входит в ответ.

б) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt[5]{x-3}+\sqrt[5]{x+3}\ge \frac{|x|}{x}\sqrt[5]{6}.$$

Обозначим

$$g(x)=\sqrt[5]{x-3}+\sqrt[5]{x+3}.$$

Функция $$g(x)$$ возрастает на всей числовой прямой. Проверим значения при $$x=-3$$ и $$x=3$$:

$$g(-3)=\sqrt[5]{-6}+\sqrt[5]{0}=-\sqrt[5]{6},$$

$$g(3)=\sqrt[5]{0}+\sqrt[5]{6}=\sqrt[5]{6}.$$

Правая часть равна

$$\frac{|x|}{x}\sqrt[5]{6}= \begin{cases} -\sqrt[5]{6}, & x<0,\\ \sqrt[5]{6}, & x>0. \end{cases}$$

Следовательно, неравенство выполняется при

$$x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge 3.$$

Точка $$x=0$$ не входит в область определения правой части.

Ответ

а) $$(-\infty;\,-1]\cup(0;\,1]$$

б) $$(-\infty;\,-3]\cup[3;\,+\infty)$$