Упр.1048 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) (x-1)^(1/7)+(x+1)^(1/7)?|x|/x 2^(1/7);
б) (x-3)^(1/5)+(x+3)^(1/5)?|x|/x 6^(1/5).

а) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt[7]{x-1}+\sqrt[7]{x+1}\le \frac{|x|}{x}\sqrt[7]{2}.$$

Левая часть определена при всех $x$, так как корень с нечётным показателем существует для любых действительных чисел. Обозначим

$$f(x)=\sqrt[7]{x-1}+\sqrt[7]{x+1}.$$

Функция $f(x)$ возрастает на всей числовой прямой. Поэтому достаточно сравнить значения при $x=-1$ и $x=1$:

$$f(-1)=\sqrt[7]{-2}+\sqrt[7]{0}=-\sqrt[7]{2},$$

$$f(1)=\sqrt[7]{0}+\sqrt[7]{2}=\sqrt[7]{2}.$$

Правая часть зависит от знака $x$:

$$\frac{|x|}{x}\sqrt[7]{2}= \begin{cases} -\sqrt[7]{2}, & x<0,\\ \sqrt[7]{2}, & x>0. \end{cases}$$

Так как $f(x)$ возрастает, то неравенство выполняется при

$$x\le -1 \quad \text{или} \quad 0<x\le 1.$$

При $x=0$ выражение $\dfrac{|x|}{x}$ не определено, поэтому $x=0$ не входит в ответ.

б) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt[5]{x-3}+\sqrt[5]{x+3}\ge \frac{|x|}{x}\sqrt[5]{6}.$$

Обозначим

$$g(x)=\sqrt[5]{x-3}+\sqrt[5]{x+3}.$$

Функция $g(x)$ возрастает на всей числовой прямой. Проверим значения при $x=-3$ и $x=3$:

$$g(-3)=\sqrt[5]{-6}+\sqrt[5]{0}=-\sqrt[5]{6},$$

$$g(3)=\sqrt[5]{0}+\sqrt[5]{6}=\sqrt[5]{6}.$$

Правая часть равна

$$\frac{|x|}{x}\sqrt[5]{6}= \begin{cases} -\sqrt[5]{6}, & x<0,\\ \sqrt[5]{6}, & x>0. \end{cases}$$

Следовательно, неравенство выполняется при

$$x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge 3.$$

Точка $x=0$ не входит в область определения правой части.

Ответ

а) $$(-\infty;\,-1]\cup(0;\,1]$$

б) $$(-\infty;\,-3]\cup[3;\,+\infty)$$