Упр.1047 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Является ли последовательность $$\frac{1}{\tg\left(\frac{\pi}{6}\right)},\ \frac{1}{\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)},\ \frac{1}{\ctg\left(\frac{\pi}{6}\right)}$$ арифметической прогрессией?
- Решите неравенство:
а) $$\sqrt{(x+2)(x-5)}<8-x$$;
б) $$\sqrt{(x+3)(x-8)}\ ?\ x+2$$.
а) $$\sqrt{(x+2)(x-5)}<8-x$$
Так как левая часть неотрицательна, то правая часть должна быть положительной:
$$8-x>0,\quad x<8.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$(x+2)(x-5)<(8-x)^2$$
$$x^2-3x-10<x^2-16x+64$$
$$13x<74,\quad x<\frac{74}{13}=5\frac{9}{13}.$$
Теперь учтём область определения:
$$(x+2)(x-5)\ge 0$$
$$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge 5.$$
Пересекаем полученные условия с $$x<5\frac{9}{13}$$:
$$x\in(-\infty;-2]\cup\left[5;5\frac{9}{13}\right).$$
б) $$\sqrt{(x+3)(x-8)}\ge x+2$$
Если $$x+2\le 0,$$ то неравенство выполняется автоматически, так как левая часть неотрицательна. Тогда
$$x\le -2.$$
Но при этом должна выполняться область определения:
$$(x+3)(x-8)\ge 0$$
$$x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge 8.$$
Пересечение с $$x\le -2$$ даёт:
$$x\le -3.$$
Если $$x+2>0,$$ можно возвести обе части в квадрат:
$$(x+3)(x-8)\ge (x+2)^2$$
$$x^2-5x-24\ge x^2+4x+4$$
$$-9x\ge 28$$
$$x\le -\frac{28}{9}.$$
Но это противоречит условию $$x>-2,$$ значит решений здесь нет.
Итак, для пункта б) получаем:
$$x\in(-\infty;-3].$$
Ответ
а) $$(-\infty;-2]\cup\left[5;5\frac{9}{13}\right)$$; б) $$(-\infty;-3]$$.
