Упр.1046 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите значение выражения:
   а) $$\frac{\sqrt{(\cos 60^\circ-\sin 60^\circ)^2}}{\sin 30^\circ(1-\tg 60^\circ)}$$;
   б) $$\frac{\sqrt{(\tg \frac{\pi}{6}-\tg \frac{\pi}{3})^2}}{\sqrt{(\ctg \frac{\pi}{6}-\ctg \frac{\pi}{3})^2}}$$.
2. Решите систему уравнений:
   $$\begin{cases} (x-y)^{\frac{1}{3}}+(x-y)^{\frac{1}{2}}=12,\\ x+y=6. \end{cases}$$

Обозначим $$t=\sqrt[6]{x-y}.$$ Тогда

$$\sqrt{x-y}+\sqrt[3]{x-y}=12$$

преобразуется к виду

$$t^3+t^2=12.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$t^3+t^2-12=0.$$

Подбором находим корень $$t=2$$, так как

$$2^3+2^2-12=8+4-12=0.$$

Тогда

$$\sqrt[6]{x-y}=2,$$

откуда

$$x-y=64.$$

Теперь решим систему

$$\begin{cases} x-y=64,\\ x+y=6. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$2x=70,$$

$$x=35.$$

Подставим в $$x+y=6$$:

$$35+y=6,$$

$$y=-29.$$

Проверка:

$$\sqrt[3]{35-(-29)}+\sqrt{35-(-29)}=\sqrt[3]{64}+\sqrt{64}=4+8=12.$$

Ответ

$$\left(35;\,-29\right)$$