Упр.1046 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1046. Решите систему уравнений {(x-y)^(1/3)+(x-y)^(1/2)=12, x+y=6}.

Обозначим $$t=\sqrt[6]{x-y}.$$ Тогда

$$\sqrt{x-y}+\sqrt[3]{x-y}=12$$

преобразуется к виду

$$t^3+t^2=12.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$t^3+t^2-12=0.$$

Подбором находим корень $$t=2$$, так как

$$2^3+2^2-12=8+4-12=0.$$

Тогда

$$\sqrt[6]{x-y}=2,$$

откуда

$$x-y=64.$$

Теперь решим систему

$$ \begin{cases} x-y=64,\\ x+y=6. \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$$2x=70,$$

$$x=35.$$

Подставим в $$x+y=6$$:

$$35+y=6,$$

$$y=-29.$$

Проверка:

$$\sqrt[3]{35-(-29)}+\sqrt{35-(-29)}=\sqrt[3]{64}+\sqrt{64}=4+8=12.$$

Ответ

$$\left(35;\,-29\right)$$