Упр.1045 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Чему равно значение выражения:
а) $$\frac{(\sin(-30^\circ)-\cos(30^\circ))^2}{3\cos(-45^\circ)\sin(45^\circ)-6\tg(30^\circ)\ctg(60^\circ)}$$;
б) $$\frac{2\tg^2\left(-\frac{\text{?}}{3}\right)\cos\left(\frac{\text{?}}{3}\right)-3\ctg\left(\frac{\text{?}}{6}\right)}{\sin\left(\frac{\text{?}}{2}\right)\cos\left(\frac{\text{?}}{3}\right)\tg\left(\frac{\text{?}}{4}\right)\ctg^2\left(\frac{\text{?}}{6}\right)}$$? - Найдите корни уравнения:
а) $$\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}}$$;
б) $$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}-\sqrt{x-4\sqrt{x}}}-\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}+\sqrt{x-4\sqrt{x}}}=x^{1/4}$$.
а) Обозначим $$t=\sqrt{x}.$$ Тогда $$x=t^2,$$ и уравнение принимает вид
$$\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}}$$
$$\sqrt{t^2+t}-\sqrt{t^2-t}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{t^2}{t^2+t}}.$$
Так как $$t=\sqrt{x}\ge 0,$$ то при $$t>0$$ имеем
$$\sqrt{\frac{t^2}{t^2+t}}=\sqrt{\frac{t}{t+1}}.$$
Удобнее решить уравнение в исходной записи, последовательно преобразуя его:
$$\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}}$$
$$\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}}=\frac{3}{2}\sqrt{x}.$$
Перенесём и преобразуем:
$$2\sqrt{x+\sqrt{x}}-2\sqrt{x-\sqrt{x}}=3\sqrt{x}.$$
После возведения в квадрат и упрощения получаем
$$4\sqrt{x}=5,$$
откуда
$$\sqrt{x}=\frac{5}{4}, \qquad x=\frac{25}{16}.$$
Проверим область определения: $$x\ge 0,$$ а также $$x-\sqrt{x}\ge 0.$$ Для найденного значения $$x=\frac{25}{16}$$ все условия выполняются.
б) Обозначим $$t=\sqrt{x}.$$ Тогда $$x=t^2,$$ и уравнение можно записать так:
$$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}-\sqrt{x-4\sqrt{x}}}-\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}+\sqrt{x-4\sqrt{x}}}=\sqrt[4]{x}.$$
Преобразуем левую часть:
$$\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{x-4\sqrt{x}})^2-(\sqrt{x}-\sqrt{x-4\sqrt{x}})^2}{x-(x-4\sqrt{x})}=\sqrt[4]{x}.$$
По формуле разности квадратов числитель равен
$$4\sqrt{x}\sqrt{x-4\sqrt{x}},$$
а знаменатель:
$$4\sqrt{x}.$$
Тогда
$$\sqrt{x-4\sqrt{x}}=\sqrt[4]{x}.$$
Возведём в квадрат:
$$x-4\sqrt{x}=\sqrt{x}.$$
Получаем
$$x=5\sqrt{x}.$$
Так как $$x\ge 0,$$ то
$$\sqrt{x}=5,\qquad x=25.$$
Проверка области определения: $$\sqrt{x-4\sqrt{x}}$$ существует при $$x-4\sqrt{x}\ge 0,$$ то есть при найденном значении условие выполняется.
Ответ
а) $$\frac{25}{16}$$; б) $$25$$.
