Упр.1044 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1044. Решите относительно x уравнение: (a+x)^(2/3)+4(a-x)^(2/3)=5(a^2-x^2)^(1/3).

Преобразуем уравнение:

$$ (a+x)^{\frac23}+4(a-x)^{\frac23}=5(a^2-x^2)^{\frac13} $$

Так как $$a^2-x^2=(a+x)(a-x),$$ получаем

$$ \sqrt[3]{\frac{a+x}{a-x}}+4\sqrt[3]{\frac{a-x}{a+x}}=5. $$

Пусть

$$ y=\sqrt[3]{\frac{a+x}{a-x}}. $$

Тогда

$$ y+\frac{4}{y}=5. $$

Умножим на $$y$$:

$$ y^2-5y+4=0. $$

$$ D=25-16=9, $$

$$ y_1=\frac{5-3}{2}=1,\qquad y_2=\frac{5+3}{2}=4. $$

1) Если

$$ \sqrt[3]{\frac{a+x}{a-x}}=1, $$

то

$$ \frac{a+x}{a-x}=1, $$

$$ a+x=a-x, $$

$$ 2x=0,\qquad x=0. $$

2) Если

$$ \sqrt[3]{\frac{a+x}{a-x}}=4, $$

то

$$ \frac{a+x}{a-x}=64, $$

$$ a+x=64a-64x, $$

$$ 65x=63a,\qquad x=\frac{63a}{65}. $$

Проверим область допустимых значений:

$$ a+x\ge 0,\qquad a-x\ge 0. $$

При $$a<0$$ решений нет. При $$a=0$$ получаем только $$x=0$$. При $$a>0$$ оба найденных значения подходят.

Ответ

Если $$a<0,$$ то решений нет; если $$a=0,$$ то $$x=0$$; если $$a>0,$$ то $$x=0$$ и $$x=\frac{63a}{65}$$.