Упр.1043 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) v(x(x^(1/5))-(xvx)^(1/5)=56;
б) (xvx)^(1/3)+v(x(x^(1/3))=24.

а) Обозначим $$t=\sqrt[10]{x}.$$ Тогда

$$\sqrt{x\sqrt[5]{x}}-\sqrt[5]{x\sqrt{x}}=56$$
$$\sqrt{x\cdot x^{1/5}}-\sqrt[5]{x\cdot x^{1/2}}=56$$
$$\sqrt{x^{6/5}}-\sqrt[5]{x^{3/2}}=56$$
$$x^{3/5}-x^{3/10}=56.$$

Положим $$u=\sqrt[10]{x}.$$ Тогда $$x^{3/5}=u^6$$, $$x^{3/10}=u^3$$, и получаем

$$u^6-u^3-56=0.$$

Обозначим $$z=u^3$$. Тогда

$$z^2-z-56=0$$
$$D=1+224=225$$
$$z_{1,2}=\frac{1\pm 15}{2}.$$

Отсюда $$z_1=-7$$, $$z_2=8$$. Так как $$z=u^3\ge 0$$, подходит только $$z=8$$.

$$u^3=8$$
$$u=2$$
$$\sqrt[10]{x}=2$$
$$x=2^{10}=1024.$$

б) Обозначим $$t=\sqrt[6]{x}.$$ Тогда

$$\sqrt[3]{x\sqrt{x}}+\sqrt{x\sqrt[3]{x}}=24$$
$$\sqrt[3]{x\cdot x^{1/2}}+\sqrt{x\cdot x^{1/3}}=24$$
$$\sqrt[3]{x^{3/2}}+\sqrt{x^{4/3}}=24$$
$$x^{1/2}+x^{2/3}=24.$$

Положим $$u=\sqrt[6]{x}.$$ Тогда $$x^{1/2}=u^3$$, $$x^{2/3}=u^4$$, и получаем

$$u^3+u^4=24.$$

Перепишем:

$$u^4+u^3-24=0.$$

Проверим целые корни: $$u=2$$ подходит, так как

$$2^4+2^3-24=16+8-24=0.$$

Тогда

$$u^4+u^3-24=(u-2)(u^3+3u^2+6u+12).$$

Второй множитель при $$u\ge 0$$ положителен, значит

$$u-2=0,\quad u=2.$$

$$\sqrt[6]{x}=2$$
$$x=2^6=64.$$

Ответ

а) $$1024$$; б) $$64$$.