Упр.1042 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Найдите значение выражения:
а) $$\sqrt{3}\cos(30^\circ)+\sqrt{2}\sin(45^\circ)$$;
б) $$\sqrt{3}\left(\sin(60^\circ)-\tg(30^\circ)\right)$$;
в) $$2\cos(60^\circ)+3\tg(45^\circ)$$;
г) $$\sqrt{3}\cos(0^\circ)-2\ctg(30^\circ)$$;
д) $$4\cos(30^\circ)\sin(60^\circ)$$;
е) $$2\tg(60^\circ)\tg(30^\circ)$$;
ж) $$4\ctg(30^\circ)\sin(60^\circ)$$;
з) $$2\cos(30^\circ)\ctg(60^\circ)$$. - Решите систему уравнений:
а) $$\begin{cases}\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=3,\\xy=8;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}\sqrt{\frac{x}{y}}-\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac{3}{2},\\x+xy+y=9.\end{cases}$$
а) Обозначим $$a=\sqrt[3]{x}, \quad b=\sqrt[3]{y}.$$ Тогда система принимает вид
$$\begin{cases} a+b=3,\\ ab=2, \end{cases}$$
так как $$xy=8 \Rightarrow ab=\sqrt[3]{xy}=\sqrt[3]{8}=2.$$
Числа $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения
$$t^2-3t+2=0,$$
откуда
$$t_1=1,\quad t_2=2.$$
Значит, $$\{a,b\}=\{1,2\}.$$ Тогда
$$\{x,y\}=\{1^3,2^3\}=\{1,8\}.$$
Следовательно, решения системы:
$$(1;8), \quad (8;1).$$
б) Обозначим
$$u=\sqrt{\frac{x}{y}}, \quad v=\sqrt{\frac{y}{x}}.$$
Тогда первое уравнение системы:
$$u-v=\frac{3}{2}.$$
Кроме того,
$$uv=\sqrt{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}}=1.$$
Получаем систему
$$\begin{cases} u-v=\frac{3}{2},\\ uv=1. \end{cases}$$
Пусть $$u$$ и $$v$$ — корни уравнения
$$t^2-\frac{3}{2}t-1=0.$$
Умножим на $$2$$:
$$2t^2-3t-2=0.$$
Тогда
$$D=9+16=25,$$
$$t_1=\frac{3+5}{4}=2,\quad t_2=\frac{3-5}{4}=-\frac12.$$
Так как $$u=\sqrt{\frac{x}{y}}\ge 0$$ и $$v=\sqrt{\frac{y}{x}}\ge 0,$$ подходит только
$$u=2,\quad v=\frac12.$$
Отсюда
$$\frac{x}{y}=4.$$
Подставим во второе уравнение системы:
$$x+xy+y=9.$$
Пусть $$x=4y$$. Тогда
$$4y+4y^2+y=9,$$
$$4y^2+5y-9=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=25+144=169,$$
$$y_1=\frac{-5+13}{8}=1,\quad y_2=\frac{-5-13}{8}=-\frac94.$$
Но из $$\frac{x}{y}=4$$ и $$u,v\ge 0$$ получаем положительные значения, значит $$y=1$$, тогда $$x=4.$$
Проверка:
$$4+4\cdot 1+1=9.$$
Ответ
а) $$(1;8),\ (8;1)$$
б) $$(4;1)$$
