Упр.1042 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) {x^(1/3)+y^(1/3)=3, xy=8};
б) {v(x/y)-v(y/x)=3/2, x+xy+y=9}.

а) Обозначим $$a=\sqrt[3]{x}, \quad b=\sqrt[3]{y}.$$ Тогда система принимает вид

$$ \begin{cases} a+b=3,\\ ab=2, \end{cases} $$

так как $$xy=8 \Rightarrow ab=\sqrt[3]{xy}=\sqrt[3]{8}=2.$$

Числа $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения

$$t^2-3t+2=0,$$

откуда

$$t_1=1,\quad t_2=2.$$

Значит, $$\{a,b\}=\{1,2\}.$$ Тогда

$$ \{x,y\}=\{1^3,2^3\}=\{1,8\}. $$

Следовательно, решения системы:

$$ (1;8), \quad (8;1). $$

б) Обозначим

$$u=\sqrt{\frac{x}{y}}, \quad v=\sqrt{\frac{y}{x}}.$$

Тогда первое уравнение системы:

$$u-v=\frac{3}{2}.$$

Кроме того,

$$uv=\sqrt{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}}=1.$$

Получаем систему

$$ \begin{cases} u-v=\frac{3}{2},\\ uv=1. \end{cases} $$

Пусть $$u$$ и $$v$$ — корни уравнения

$$t^2-\frac{3}{2}t-1=0.$$

Умножим на $$2$$:

$$2t^2-3t-2=0.$$

Тогда

$$ D=9+16=25, $$

$$ t_1=\frac{3+5}{4}=2,\quad t_2=\frac{3-5}{4}=-\frac12. $$

Так как $$u=\sqrt{\frac{x}{y}}\ge 0$$ и $$v=\sqrt{\frac{y}{x}}\ge 0,$$ подходит только

$$u=2,\quad v=\frac12.$$

Отсюда

$$\frac{x}{y}=4.$$

Подставим во второе уравнение системы:

$$x+xy+y=9.$$

Пусть $$x=4y$$. Тогда

$$4y+4y^2+y=9,$$

$$4y^2+5y-9=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$ D=25+144=169, $$

$$ y_1=\frac{-5+13}{8}=1,\quad y_2=\frac{-5-13}{8}=-\frac94. $$

Но из $$\frac{x}{y}=4$$ и $$u,v\ge 0$$ получаем положительные значения, значит $$y=1$$, тогда $$x=4.$$

Проверка:

$$4+4\cdot 1+1=9.$$

Ответ

а) $$ (1;8),\ (8;1) $$

б) $$ (4;1) $$