Упр.1041 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) 1/(1-v(1-x))-1/(1+v(1-x))=1/x;
б) (621+x)^(1/4)+(77+x)^(1/4)=8;
в) (x-5)^(1/3)+(x-12)^(1/3)=1,5(8(x-5)(x-12))^(1/6);
г) v(x+2v(x-1))-v(x-2v(x-1))=2.

Подробный ответ

а) Обозначим $$y=\sqrt{1-x}.$$ Тогда $$x=1-y^2,$$ и уравнение примет вид
$$\frac{1}{1-y}-\frac{1}{1+y}=\frac{1}{1-y^2}.$$
Приведём левую часть к общему знаменателю:
$$\frac{(1+y)-(1-y)}{1-y^2}=\frac{1}{1-y^2}.$$
Тогда
$$2y=1,\quad y=\frac12.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\sqrt{1-x}=\frac12,$$
$$1-x=\frac14,\quad x=\frac34.$$
б) Рассмотрим функцию
$$f(x)=\sqrt[4]{621+x}+\sqrt[4]{77+x}.$$
Она возрастает, так как оба слагаемых возрастают при увеличении $$x$$. Проверим значение при $$x=4$$:
$$f(4)=\sqrt[4]{625}+\sqrt[4]{81}=5+3=8.$$
Следовательно, $$x=4$$ — решение уравнения.
в) Перепишем уравнение в виде
$$\sqrt[3]{x-5}+\sqrt[3]{x-12}=1{,}5\sqrt[6]{8(x-5)(x-12)}.$$
Пусть
$$y=\sqrt[6]{\frac{x-5}{x-12}}.$$
Тогда
$$y+\frac{1}{y}=1{,}5\sqrt2.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-1{,}5\sqrt2\,y+1=0.$$
Удобнее записать так:
$$2y^2-3\sqrt2\,y+2=0.$$
Дискриминант:
$$D=(3\sqrt2)^2-4\cdot2\cdot2=18-16=2.$$
Тогда
$$y_1=\frac{3\sqrt2-\sqrt2}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\quad y_2=\frac{3\sqrt2+\sqrt2}{4}=\sqrt2.$$
1) Если $$y=\frac{\sqrt2}{2},$$ то
$$\sqrt[6]{\frac{x-5}{x-12}}=\frac{\sqrt2}{2},$$
$$\frac{x-5}{x-12}=\frac18,$$
$$8x-40=x-12,\quad 7x=28,\quad x=4.$$
2) Если $$y=\sqrt2,$$ то
$$\sqrt[6]{\frac{x-5}{x-12}}=\sqrt2,$$
$$\frac{x-5}{x-12}=8,$$
$$x-5=8x-96,\quad 7x=91,\quad x=13.$$
г) Обозначим
$$a=\sqrt{x+2\sqrt{x-1}},\quad b=\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}.$$
Тогда уравнение имеет вид
$$a-b=2.$$
Возведём в квадрат:
$$a^2+b^2-2ab=4.$$
Подставим:
$$x+2\sqrt{x-1}+x-2\sqrt{x-1}-2\sqrt{(x+2\sqrt{x-1})(x-2\sqrt{x-1})}=4,$$
$$2x-2\sqrt{x^2-4(x-1)}=4.$$
Но удобнее заметить, что
$$\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}=\sqrt{x-1}+1,$$
$$\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\sqrt{x-1}-1,$$
так как
$$\left(\sqrt{x-1}\pm1\right)^2=x\pm2\sqrt{x-1}.$$
Тогда уравнение превращается в
$$\left(\sqrt{x-1}+1\right)-\left(\sqrt{x-1}-1\right)=2,$$
что верно при всех значениях, для которых выражения определены.
Найдём область определения:
$$x-1\ge 0,\quad x\ge 1,$$
и
$$x-2\sqrt{x-1}\ge 0.$$
Положим $$t=\sqrt{x-1}\ge 0.$$ Тогда
$$x=t^2+1,$$
и условие
$$t^2+1-2t\ge 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (t-1)^2\ge 0,$$
что выполняется всегда. Значит, достаточно $$x\ge 1.$$