Упр.1040 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) ((x+1)^2)^(1/n)+((x-1)^2)^(1/n)=4(x^2-1)^(1/n);
б) ((1+x)^2)^(1/n)-((1-x)^2)^(1/n)=(1-x^2)^(1/n).

1. а) Преобразуем уравнение:

   $$\sqrt[n]{(x+1)^2}+\sqrt[n]{(x-1)^2}=4\sqrt[n]{x^2-1}.$$

   Так как $$\sqrt[n]{(x+1)^2}=\sqrt[n]{\frac{x+1}{x-1}}\cdot \sqrt[n]{x^2-1}$$ и аналогично для второго слагаемого, удобно ввести замену:

   $$y=\sqrt[n]{\frac{x+1}{x-1}}.$$

   Тогда

   $$y+\frac1y=4,$$

   $$y^2-4y+1=0.$$

   Решаем квадратное уравнение:

   $$D=16-4=12,$$

   $$y=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}=2\pm\sqrt3.$$

   Возвращаемся к замене:

   $$\sqrt[n]{\frac{x+1}{x-1}}=2\pm\sqrt3,$$

   $$\frac{x+1}{x-1}=(2\pm\sqrt3)^n.$$

   Отсюда

   $$x+1=(2\pm\sqrt3)^n(x-1),$$

   $$x\bigl((2\pm\sqrt3)^n-1\bigr)=1+(2\pm\sqrt3)^n,$$

   $$x=\frac{(2\pm\sqrt3)^n+1}{(2\pm\sqrt3)^n-1}.$$

2. б) Аналогично преобразуем уравнение:

   $$\sqrt[n]{(1+x)^2}-\sqrt[n]{(1-x)^2}=\sqrt[n]{1-x^2}.$$

   Введём замену:

   $$y=\sqrt[n]{\frac{1+x}{1-x}}.$$

   Тогда

   $$y-\frac1y=1,$$

   $$y^2-y-1=0.$$

   Находим корни:

   $$D=1+4=5,$$

   $$y=\frac{1\pm\sqrt5}{2}.$$

   Возвращаемся к замене:

   $$\sqrt[n]{\frac{1+x}{1-x}}=\frac{1\pm\sqrt5}{2},$$

   $$\frac{1+x}{1-x}=\left(\frac{1\pm\sqrt5}{2}\right)^n.$$

   Тогда

   $$1+x=\left(\frac{1\pm\sqrt5}{2}\right)^n(1-x),$$

   $$x\left(1+\left(\frac{1\pm\sqrt5}{2}\right)^n\right)=\left(\frac{1\pm\sqrt5}{2}\right)^n-1,$$

   $$x=\frac{\left(\frac{1\pm\sqrt5}{2}\right)^n-1}{\left(\frac{1\pm\sqrt5}{2}\right)^n+1}.$$

Ответ

а) $$x=\frac{(2+\sqrt3)^n+1}{(2+\sqrt3)^n-1},\quad x=\frac{(2-\sqrt3)^n+1}{(2-\sqrt3)^n-1}.$$

б) $$x=\frac{\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-1}{\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n+1},\quad x=\frac{\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n-1}{\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n+1}.$$