Упр.104 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Докажите, что:
а) функция $$f(x)=x^2+2x$$ на промежутке $$(-?;\,-2]$$ убывает, а на промежутке $$[0;\,+?)$$ возрастает;
б) функция $$g(x)=x^3+x-7$$ возрастает на множестве $$\mathbb{R}$$. - Зная, что $$(m;\,n)$$ — координаты вершины параболы $$y=ax^2+bx+c$$, а $$x_1$$ и $$x_2$$ — нули функции $$y$$, докажите, что верны формулы:
а) $$x_1=m-\sqrt{-\frac{n}{a}},\quad x_2=m+\sqrt{-\frac{n}{a}}$$;
б) $$m=\frac{x_1+x_2}{2},\quad n=-\frac{a(x_1-x_2)}{2}$$.
Пусть парабола задана уравнением $$y=ax^2+bx+c$$, а её вершина имеет координаты $$\left(m;n\right)$$.
Тогда абсцисса вершины равна
$$m=-\frac{b}{2a},$$
а ордината вершины:
$$n=-\frac{D}{4a}, \quad \text{где } D=b^2-4ac.$$
Нули функции найдём по формуле корней квадратного уравнения:
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}.$$
Тогда
$$x_1=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{D}}{2a}, \qquad x_2=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{D}}{2a}.$$
Так как
$$-\frac{n}{a}=-\frac{-D/(4a)}{a}=\frac{D}{4a^2},$$
то
$$\sqrt{-\frac{n}{a}}=\frac{\sqrt{D}}{2a}.$$
Следовательно,
$$x_1=m-\sqrt{-\frac{n}{a}}, \qquad x_2=m+\sqrt{-\frac{n}{a}}.$$
Это доказывает формулу из пункта а).
Теперь проверим пункт б):
$$\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}+\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{2a}=m.$$
Далее
$$x_1-x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}-\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=-\frac{\sqrt{D}}{a},$$
поэтому
$$-a\left(\frac{x_1-x_2}{2}\right)^2=-a\cdot\frac{D}{4a^2}=-\frac{D}{4a}=n.$$
Значит, верны и формулы из пункта б).
Ответ
$$x_1=m-\sqrt{-\frac{n}{a}}, \qquad x_2=m+\sqrt{-\frac{n}{a}};$$
$$m=\frac{x_1+x_2}{2}, \qquad n=-a\left(\frac{x_1-x_2}{2}\right)^2.$$
