Упр.104 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) x_1=m-v(-n/a), x_2=m+v(-n/a); б) m=(x_1+x_2)/2, n=-a(x_1-x_2)/2.

Пусть парабола задана уравнением $$y=ax^2+bx+c$$, а её вершина имеет координаты $$\left(m;n\right)$$.

Тогда абсцисса вершины равна

$$m=-\frac{b}{2a},$$

а ордината вершины:

$$n=-\frac{D}{4a}, \quad \text{где } D=b^2-4ac.$$

Нули функции найдём по формуле корней квадратного уравнения:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}.$$

Тогда

$$x_1=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{D}}{2a}, \qquad x_2=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{D}}{2a}.$$

Так как

$$-\frac{n}{a}=-\frac{-D/(4a)}{a}=\frac{D}{4a^2},$$

то

$$\sqrt{-\frac{n}{a}}=\frac{\sqrt{D}}{2a}.$$

Следовательно,

$$x_1=m-\sqrt{-\frac{n}{a}}, \qquad x_2=m+\sqrt{-\frac{n}{a}}.$$

Это доказывает формулу из пункта а).

Теперь проверим пункт б):

$$\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}+\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{2a}=m.$$

Далее

$$x_1-x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}-\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=-\frac{\sqrt{D}}{a},$$

поэтому

$$-a\left(\frac{x_1-x_2}{2}\right)^2=-a\cdot\frac{D}{4a^2}=-\frac{D}{4a}=n.$$

Значит, верны и формулы из пункта б).

Ответ

$$x_1=m-\sqrt{-\frac{n}{a}}, \qquad x_2=m+\sqrt{-\frac{n}{a}};$$

$$m=\frac{x_1+x_2}{2}, \qquad n=-a\left(\frac{x_1-x_2}{2}\right)^2.$$