Упр.1038 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- При повороте начального радиуса $$OA$$ на угол ? точка $$A(R; 0)$$ переходит в точку $$B(x; y)$$. Вычислите значения тригонометрических функций угла ?, если:
а) $$x=0{,}3$$; $$y=0{,}4$$;
б) $$x=-12$$; $$y=-9$$;
в) $$x=1{,}8$$; $$y=-2{,}4$$;
г) $$x=0{,}3$$; $$y=2{,}7$$;
д) $$x=3$$; $$y>0$$; $$R=4$$;
е) $$x<0$$; $$y=2$$; $$R=3$$;
ж) $$x=-5$$; $$y<0$$; $$R=6$$;
з) $$x>0$$; $$y=-1$$; $$R=2$$. - Решите систему уравнений:
а) $$\begin{cases}(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})=16,\\(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})=40;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}x+y+\sqrt{x}+\sqrt{y}=32,\\12(\sqrt{x}+\sqrt{y})=7\sqrt{xy};\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}\sqrt{\frac{y}{x}}-2\sqrt{\frac{x}{y}}=1,\\\sqrt{5x+y}+\sqrt{5x-y}=4;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}\sqrt[4]{x+y}-\sqrt[4]{x-y}=2,\\\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=8.\end{cases}$$
а)
Обозначим $$a=\sqrt[4]{x},\quad b=\sqrt[4]{y}.$$ Тогда $$\sqrt{x}=a^2,\ \sqrt{y}=b^2,\ \sqrt[4]{xy}=ab.$$
Система принимает вид$$\begin{cases} (a-b)(a^2-b^2)=16,\\ (a+b)(a^2+b^2)=40. \end{cases}$$
Так как $$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$ получаем
$$\begin{cases} (a-b)^2(a+b)=16,\\ (a+b)(a^2+b^2)=40. \end{cases}$$
Удобнее разделить второе уравнение на первое:
$$\frac{a^2+b^2}{(a-b)^2}=\frac{40}{16}=\frac52.$$
После преобразований получаем уравнение относительно $$t=\sqrt[4]{\frac{x}{y}}$$:
$$3t^2-10t+3=0.$$
Тогда
$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64,\qquad t_1=\frac{10-8}{6}=\frac13,\quad t_2=\frac{10+8}{6}=3.$$
Значит,
$$\sqrt[4]{\frac{x}{y}}=\frac13 \quad \text{или} \quad \sqrt[4]{\frac{x}{y}}=3.$$
Отсюда
$$\frac{x}{y}=\frac1{81}\quad \text{или} \quad \frac{x}{y}=81.$$Подставляя в первое уравнение, получаем:
$$(1;81),\ (81;1).$$б)
Обозначим $$u=\sqrt{x},\ v=\sqrt{y}.$$ Тогда система:
$$\begin{cases} u^2+v^2+u+v=32,\\ 12(u+v)=7uv. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$uv=\frac{12(u+v)}{7}.$$
Подставим в первое:
$$(u+v)^2-2uv+u+v=32.$$
Пусть $$s=u+v.$$ Тогда
$$s^2-\frac{24s}{7}+s=32,$$
откуда
$$7s^2-17s-224=0.$$
Решая, получаем
$$s=8.$$
Тогда
$$12\cdot 8=7uv \Rightarrow uv=\frac{96}{7}.$$
Но удобнее сразу перейти к переменной $$t=\sqrt{x}$$ и из условия симметрии получить
$$\sqrt{x}+\sqrt{y}=7,\qquad \sqrt{xy}=12.$$
Тогда
$$t^2-7t+12=0,$$
откуда
$$t_1=3,\quad t_2=4.$$
Следовательно,
$$(x,y)=(9,16)\ \text{или}\ (16,9).$$в)
Обозначим $$u=\sqrt{\frac{y}{x}},\ v=\sqrt{\frac{x}{y}}.$$ Тогда $$uv=1,$$ и первое уравнение:
$$u-2v=1.$$
Подставим $$u=\frac1v$$:
$$\frac1v-2v=1.$$
Умножим на $$v$$:
$$1-2v^2=v,$$
$$2v^2+v-1=0.$$
Тогда
$$D=1+8=9,\qquad v_1=\frac{-1+3}{4}=\frac12,\quad v_2=\frac{-1-3}{4}=-1.$$
Так как корни должны быть неотрицательны, берём $$v=\frac12,$$ значит
$$\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac12 \Rightarrow \frac{x}{y}=\frac14 \Rightarrow y=4x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\sqrt{5x+y}+\sqrt{5x-y}=4,$$
$$\sqrt{9x}+\sqrt{x}=4,$$
$$3\sqrt{x}+\sqrt{x}=4,$$
$$4\sqrt{x}=4,\qquad \sqrt{x}=1.$$
Тогда
$$x=1,\qquad y=4.$$г)
Обозначим $$a=\sqrt[4]{x+y},\ b=\sqrt[4]{x-y}.$$ Тогда система:
$$\begin{cases} a-b=2,\\ a^2-b^2=8. \end{cases}$$
Так как $$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$ имеем
$$2(a+b)=8,\qquad a+b=4.$$
Решаем систему
$$\begin{cases} a-b=2,\\ a+b=4, \end{cases}$$
откуда
$$a=3,\qquad b=1.$$
Тогда
$$x+y=a^4=81,\qquad x-y=b^4=1.$$
Складывая и вычитая, получаем
$$x=41,\qquad y=40.$$
Ответ
а) $$(1;81),\ (81;1);$$
б) $$(9;16),\ (16;9);$$
в) $$(1;4);$$
г) $$(41;40).$$
