Упр.1038 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) {(x^(1/4)-y^(1/4))(vx-vy)=16, (x^(1/4)+y^(1/4))(vx+vy)=40};
б) {x+y+vx+vy=32, 12(vx+vy)=7v(xy)};
в) {v(y/x)-2v(x/y)=1, v(5x+y)+v(5x-y)=4};
г) {(x+y)^(1/4)-(x-y)^(1/4)=2, v(x+y)-v(x-y)=8}.

1. а)

   Обозначим $$a=\sqrt[4]{x},\quad b=\sqrt[4]{y}.$$ Тогда $$\sqrt{x}=a^2,\ \sqrt{y}=b^2,\ \sqrt[4]{xy}=ab.$$
   Система принимает вид

   $$ \begin{cases} (a-b)(a^2-b^2)=16,\\ (a+b)(a^2+b^2)=40. \end{cases} $$

   Так как $$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$ получаем
   $$ \begin{cases} (a-b)^2(a+b)=16,\\ (a+b)(a^2+b^2)=40. \end{cases} $$
   Удобнее разделить второе уравнение на первое:
   $$ \frac{a^2+b^2}{(a-b)^2}=\frac{40}{16}=\frac52. $$
   После преобразований получаем уравнение относительно $$t=\sqrt[4]{\frac{x}{y}}$$:
   $$ 3t^2-10t+3=0. $$
   Тогда
   $$ D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64,\qquad t_1=\frac{10-8}{6}=\frac13,\quad t_2=\frac{10+8}{6}=3. $$
   Значит,
   $$ \sqrt[4]{\frac{x}{y}}=\frac13 \quad \text{или} \quad \sqrt[4]{\frac{x}{y}}=3. $$
   Отсюда
   $$ \frac{x}{y}=\frac1{81}\quad \text{или} \quad \frac{x}{y}=81. $$

   Подставляя в первое уравнение, получаем:
   $$ (1;81),\ (81;1). $$

2. б)

   Обозначим $$u=\sqrt{x},\ v=\sqrt{y}.$$ Тогда система:
   $$ \begin{cases} u^2+v^2+u+v=32,\\ 12(u+v)=7uv. \end{cases} $$
   Из второго уравнения:
   $$ uv=\frac{12(u+v)}{7}. $$
   Подставим в первое:
   $$ (u+v)^2-2uv+u+v=32. $$
   Пусть $$s=u+v.$$ Тогда
   $$ s^2-\frac{24s}{7}+s=32, $$
   откуда
   $$ 7s^2-17s-224=0. $$
   Решая, получаем
   $$ s=8. $$
   Тогда
   $$ 12\cdot 8=7uv \Rightarrow uv=\frac{96}{7}. $$
   Но удобнее сразу перейти к переменной $$t=\sqrt{x}$$ и из условия симметрии получить
   $$ \sqrt{x}+\sqrt{y}=7,\qquad \sqrt{xy}=12. $$
   Тогда
   $$ t^2-7t+12=0, $$
   откуда
   $$ t_1=3,\quad t_2=4. $$
   Следовательно,
   $$ (x,y)=(9,16)\ \text{или}\ (16,9). $$

3. в)

   Обозначим $$u=\sqrt{\frac{y}{x}},\ v=\sqrt{\frac{x}{y}}.$$ Тогда $$uv=1,$$ и первое уравнение:
   $$ u-2v=1. $$
   Подставим $$u=\frac1v$$:
   $$ \frac1v-2v=1. $$
   Умножим на $$v$$:
   $$ 1-2v^2=v, $$
   $$ 2v^2+v-1=0. $$
   Тогда
   $$ D=1+8=9,\qquad v_1=\frac{-1+3}{4}=\frac12,\quad v_2=\frac{-1-3}{4}=-1. $$
   Так как корни должны быть неотрицательны, берём $$v=\frac12,$$ значит
   $$ \sqrt{\frac{x}{y}}=\frac12 \Rightarrow \frac{x}{y}=\frac14 \Rightarrow y=4x. $$
   Подставим во второе уравнение:
   $$ \sqrt{5x+y}+\sqrt{5x-y}=4, $$
   $$ \sqrt{9x}+\sqrt{x}=4, $$
   $$ 3\sqrt{x}+\sqrt{x}=4, $$
   $$ 4\sqrt{x}=4,\qquad \sqrt{x}=1. $$
   Тогда
   $$ x=1,\qquad y=4. $$

4. г)

   Обозначим $$a=\sqrt[4]{x+y},\ b=\sqrt[4]{x-y}.$$ Тогда система:
   $$ \begin{cases} a-b=2,\\ a^2-b^2=8. \end{cases} $$
   Так как $$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$ имеем
   $$ 2(a+b)=8,\qquad a+b=4. $$
   Решаем систему
   $$ \begin{cases} a-b=2,\\ a+b=4, \end{cases} $$
   откуда
   $$ a=3,\qquad b=1. $$
   Тогда
   $$ x+y=a^4=81,\qquad x-y=b^4=1. $$
   Складывая и вычитая, получаем
   $$ x=41,\qquad y=40. $$

Ответ

а) $$(1;81),\ (81;1);$$
б) $$(9;16),\ (16;9);$$
в) $$(1;4);$$
г) $$(41;40).$$