Упр.1037 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) (8,5+x)^(1/4)+(8,5-x)^(1/4)=3; в) (4y^2+1)^(1/2)+(4y^2+1)^(1/4)=12;
б) (x-2)^(1/4)+(3-x)^(1/4)=1; г) (5y^2+1)^(1/2)+(5y^2+1)^(1/4)=6.

Подробный ответ

а) Обозначим $$a=\sqrt[4]{8{,}5+x}$$, $$b=\sqrt[4]{8{,}5-x}$$. Тогда $$a+b=3$$ и
$$a^4+b^4=8{,}5+x+8{,}5-x=17.$$
Так как $$b=3-a$$, получаем
$$a^4+(3-a)^4=17.$$
После преобразования:
$$a^4-6a^3+27a^2-54a+32=0,$$
$$ (a-1)(a-2)(a^2-3a+16)=0.$$
Отсюда $$a=1$$ или $$a=2$$.
Если $$a=1$$, то
$$\sqrt[4]{8{,}5+x}=1 \Rightarrow 8{,}5+x=1 \Rightarrow x=-7{,}5.$$
Если $$a=2$$, то
$$\sqrt[4]{8{,}5+x}=2 \Rightarrow 8{,}5+x=16 \Rightarrow x=7{,}5.$$
б) Обозначим $$a=\sqrt[4]{x-2}$$, $$b=\sqrt[4]{3-x}$$. Тогда $$a+b=1$$ и
$$a^4+b^4=x-2+3-x=1.$$
Так как $$b=1-a$$, имеем
$$a^4+(1-a)^4=1.$$
После преобразования:
$$2a(a-1)(a^2-a+2)=0.$$
Реальные корни дают $$a=0$$ или $$a=1$$.
Если $$a=0$$, то
$$\sqrt[4]{x-2}=0 \Rightarrow x=2.$$
Если $$a=1$$, то
$$\sqrt[4]{x-2}=1 \Rightarrow x-2=1 \Rightarrow x=3.$$
в) Пусть $$t=\sqrt[4]{4y^2+1}$$. Тогда $$t^2+\;t=12$$, то есть
$$t^2+t-12=0.$$
$$D=1+48=49,$$
$$t_1=\frac{-1-7}{2}=-4,\qquad t_2=\frac{-1+7}{2}=3.$$
Так как $$t=\sqrt[4]{4y^2+1}\ge 0$$, подходит только $$t=3$$.
Тогда
$$\sqrt[4]{4y^2+1}=3 \Rightarrow 4y^2+1=81 \Rightarrow 4y^2=80 \Rightarrow y^2=20,$$
$$y=\pm 2\sqrt5.$$
г) Пусть $$t=\sqrt[4]{5y^2+1}$$. Тогда $$t^2+t=6$$, то есть
$$t^2+t-6=0.$$
$$D=1+24=25,$$
$$t_1=\frac{-1-5}{2}=-3,\qquad t_2=\frac{-1+5}{2}=2.$$
Так как $$t\ge 0$$, подходит только $$t=2$$.
Тогда
$$\sqrt[4]{5y^2+1}=2 \Rightarrow 5y^2+1=16 \Rightarrow 5y^2=15 \Rightarrow y^2=3,$$
$$y=\pm \sqrt3.$$