Упр.1036 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) v(2-xv3)+v(2+xv3)=2; в) 1-x^2-(1-x^4)^(1/2)=0;
б) v(1+x^2)=2v(x(1-x)); г) (3x^2-2)^(1/2)=2x-1.

Подробный ответ

а) $$\sqrt{2-x\sqrt{3}}+\sqrt{2+x\sqrt{3}}=2.$$
Возведём в квадрат:
$$2-x\sqrt{3}+2+x\sqrt{3}+2\sqrt{(2-x\sqrt{3})(2+x\sqrt{3})}=4.$$
$$4+2\sqrt{4-3x^2}=4,$$
$$\sqrt{4-3x^2}=0,$$
$$4-3x^2=0,$$
$$x^2=\frac{4}{3}, \qquad x=\pm \frac{2}{\sqrt{3}}=\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}.$$
б) $$\sqrt{1+x^2}=2\sqrt{x(1-x)}.$$
Область определения: $$x(1-x)\ge 0,$$ то есть $$0\le x\le 1.$$
Возведём в квадрат:
$$1+x^2=4x(1-x),$$
$$1+x^2=4x-4x^2,$$
$$5x^2-4x+1=0.$$
Дискриминант:
$$D=(-4)^2-4\cdot 5\cdot 1=16-20=-4<0.$$
Следовательно, действительных корней нет.
в) $$1-x^2-\sqrt{1-x^4}=0.$$
Так как $$1-x^4=(1-x^2)(1+x^2),$$ получаем:
$$1-x^2-\sqrt{(1-x^2)(1+x^2)}=0.$$
Положим $$t=1-x^2,$$ тогда $$1+x^2=2-t,$$ и уравнение принимает вид
$$t-\sqrt{t(2-t)}=0.$$
Отсюда
$$t=\sqrt{t(2-t)}.$$
Возведём в квадрат:
$$t^2=t(2-t),$$
$$t^2=2t-t^2,$$
$$2t^2-2t=0,$$
$$2t(t-1)=0.$$
Значит, $$t=0$$ или $$t=1.$$
1) $$1-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 1.$$
2) $$1-x^2=1 \Rightarrow x=0.$$
г) $$\sqrt{3x^2-2}=2x-1.$$
Так как левая часть неотрицательна, то $$2x-1\ge 0,$$ то есть $$x\ge \frac12.$$
Возведём в квадрат:
$$3x^2-2=(2x-1)^2,$$
$$3x^2-2=4x^2-4x+1,$$
$$x^2-4x+3=0,$$
$$D=16-12=4.$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2},$$
$$x_1=1,\qquad x_2=3.$$
Оба корня удовлетворяют условию $$x\ge \frac12.$$