Упр.1035 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) ((1+v5)/2)^2-((1-v5)/2)^2=((1+v5)/2)^3-((1-v5)/2)^3;
б) (20+14v2)^(1/3)+(20-14v2)^(1/3)=4;
в) ((2+v3)/(v2+v(2+v3))+(2-v3)/(v2-v(2-v3)))^2=2.

Подробный ответ

а) Обозначим
$$x=\frac{1+\sqrt5}{2}, \qquad y=\frac{1-\sqrt5}{2}.$$
Тогда
$$x+y=1,\qquad xy=\frac{(1+\sqrt5)(1-\sqrt5)}{4}=\frac{1-5}{4}=-1.$$
Рассмотрим разность:
$$x^2-y^2=(x-y)(x+y)=x-y,$$
а разность кубов:
$$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2).$$
Найдём
$$x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy=1^2-(-1)=2.$$
Значит,
$$x^3-y^3=2(x-y).$$
Но
$$x-y=\frac{1+\sqrt5}{2}-\frac{1-\sqrt5}{2}=\sqrt5,$$
поэтому
$$x^2-y^2=\sqrt5,\qquad x^3-y^3=2\sqrt5.$$
Следовательно, равенство в пункте а) не выполняется.
б) Пусть
$$a=\sqrt[3]{20+14\sqrt2}, \qquad b=\sqrt[3]{20-14\sqrt2}.$$
Тогда
$$a^3+b^3=20+14\sqrt2+20-14\sqrt2=40,$$
$$ab=\sqrt[3]{(20+14\sqrt2)(20-14\sqrt2)}=\sqrt[3]{400-392}=\sqrt[3]{8}=2.$$
Пусть $$a+b=x.$$ Тогда
$$x^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a^3+b^3)+3ab(a+b)=40+6x.$$
Получаем уравнение
$$x^3-6x-40=0.$$
Проверим $$x=4$$:
$$4^3-6\cdot4-40=64-24-40=0.$$
Значит, $$x=4$$, то есть
$$\sqrt[3]{20+14\sqrt2}+\sqrt[3]{20-14\sqrt2}=4.$$
в) Обозначим
$$a=\sqrt{2+\sqrt3}, \qquad b=\sqrt{2-\sqrt3}.$$
Тогда
$$a^2+b^2=(2+\sqrt3)+(2-\sqrt3)=4,$$
$$ab=\sqrt{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}=\sqrt{4-3}=1.$$
Кроме того,
$$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2=4-2=2, $$
значит,
$$a-b=\sqrt2.$$
Рассмотрим выражение:
$$\left(\frac{2+\sqrt3}{\sqrt2+\sqrt{2+\sqrt3}}+\frac{2-\sqrt3}{\sqrt2-\sqrt{2-\sqrt3}}\right)^2.$$
Так как $$a^2=2+\sqrt3$$ и $$b^2=2-\sqrt3,$$ то
$$\frac{2+\sqrt3}{\sqrt2+\sqrt{2+\sqrt3}}=\frac{a^2}{\sqrt2+a}, \qquad \frac{2-\sqrt3}{\sqrt2-\sqrt{2-\sqrt3}}=\frac{b^2}{\sqrt2-b}.$$
После преобразований получаем
$$\left(\frac{a^2}{\sqrt2+a}+\frac{b^2}{\sqrt2-b}\right)^2 =\left(\frac{4\sqrt2-(a-b)}{1+\sqrt2(a-b)}\right)^2.$$
Подставим $$a-b=\sqrt2$$:
$$\left(\frac{4\sqrt2-\sqrt2}{1+\sqrt2\cdot\sqrt2}\right)^2 =\left(\frac{3\sqrt2}{3}\right)^2 =(\sqrt2)^2=2.$$
Что и требовалось доказать.