Упр.1034 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Функции $$u$$, $$v$$ и $$w$$ определены на множестве $$\mathbb{R}$$. Причём $$u$$ обратна $$v$$ и $$v$$ обратна $$w$$. Является ли функция $$u$$ обратной функции $$w$$?
- Упростите выражение:
а) $$v\left(a+4v(a-4)\right)+v\left(a-4v(a-4)\right)$$, рассмотрев случаи, когда $$4\leqslant a<8$$ и когда $$a\geqslant 8$$;
б) $$\left(1+\frac{1}{x}\right)^2+\left(1-\frac{1}{x}\right)^{-2}$$, если $$x=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{2}}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-\frac{1}{2}}$$ и $$n>1$$.
а) Обозначим
$$x=\sqrt{a+4\sqrt{a-4}}+\sqrt{a-4\sqrt{a-4}}.$$
Тогда
$$x^2=a+4\sqrt{a-4}+a-4\sqrt{a-4}+2\sqrt{a^2-16(a-4)}=2a+2\sqrt{a^2-16a+64}.$$
Так как
$$a^2-16a+64=(a-8)^2,$$
то
$$x^2=2a+2|a-8|.$$
Рассмотрим случаи.
Если $$4\le a<8,$$ то $$|a-8|=8-a,$$ значит
$$x^2=2a+2(8-a)=16,$$
откуда $$x=4.$$
Если $$a\ge 8,$$ то $$|a-8|=a-8,$$ значит
$$x^2=2a+2(a-8)=4a-16=4(a-4).$$
Так как $$x\ge 0,$$ получаем
$$x=2\sqrt{a-4}.$$
б) Упростим выражение
$$\left(1+\frac1x\right)^{-2}+\left(1-\frac1x\right)^{-2}.$$
Имеем
$$\left(1+\frac1x\right)^{-2}=\left(\frac{x}{x+1}\right)^2,\qquad \left(1-\frac1x\right)^{-2}=\left(\frac{x}{x-1}\right)^2.$$
Тогда
$$\left(\frac{x}{x+1}\right)^2+\left(\frac{x}{x-1}\right)^2 =\frac{x^2(x-1)^2+x^2(x+1)^2}{(x^2-1)^2} =\frac{2x^2(x^2+1)}{(x^2-1)^2}.$$
По условию
$$x=\sqrt{1-\frac1n}\cdot\left(1+\frac1n\right)^{-1/2},\qquad n>1,$$
значит
$$x^2=\frac{1-\frac1n}{1+\frac1n}=\frac{n-1}{n+1}.$$
Подставим это значение:
$$\frac{2x^2(x^2+1)}{(x^2-1)^2} = \frac{2\cdot \frac{n-1}{n+1}\left(\frac{n-1}{n+1}+1\right)}{\left(\frac{n-1}{n+1}-1\right)^2}.$$
Вычислим:
$$\frac{n-1}{n+1}+1=\frac{2n}{n+1},\qquad \frac{n-1}{n+1}-1=-\frac{2}{n+1}.$$
Тогда
$$\frac{2\cdot \frac{n-1}{n+1}\cdot \frac{2n}{n+1}}{\left(-\frac{2}{n+1}\right)^2} = \frac{4n(n-1)}{(n+1)^2}\cdot \frac{(n+1)^2}{4} =n(n-1).$$
Следовательно, выражение равно $$n^2-n.$$
Ответ
а) $$4$$ при $$4\le a<8$$; $$2\sqrt{a-4}$$ при $$a\ge 8$$; б) $$n^2-n$$.
