Упр.1034 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) v(a+4v(a-4))+v(a-4v(a-4)), рассмотрев случаи, когда 4?a < 8 и когда a?8; б) (1+1/x)^2+(1-1/x)^(-2), если x=(1-1/n)^(1/2) (1+1/n)^(-1/2) и n > 1.

а) Обозначим

$$x=\sqrt{a+4\sqrt{a-4}}+\sqrt{a-4\sqrt{a-4}}.$$

Тогда

$$x^2=a+4\sqrt{a-4}+a-4\sqrt{a-4}+2\sqrt{a^2-16(a-4)}=2a+2\sqrt{a^2-16a+64}.$$

Так как

$$a^2-16a+64=(a-8)^2,$$

то

$$x^2=2a+2|a-8|.$$

Рассмотрим случаи.

Если $$4\le a<8,$$ то $$|a-8|=8-a,$$ значит

$$x^2=2a+2(8-a)=16,$$

откуда $$x=4.$$

Если $$a\ge 8,$$ то $$|a-8|=a-8,$$ значит

$$x^2=2a+2(a-8)=4a-16=4(a-4).$$

Так как $$x\ge 0,$$ получаем

$$x=2\sqrt{a-4}.$$

б) Упростим выражение

$$\left(1+\frac1x\right)^{-2}+\left(1-\frac1x\right)^{-2}.$$

Имеем

$$\left(1+\frac1x\right)^{-2}=\left(\frac{x}{x+1}\right)^2,\qquad \left(1-\frac1x\right)^{-2}=\left(\frac{x}{x-1}\right)^2.$$

Тогда

$$ \left(\frac{x}{x+1}\right)^2+\left(\frac{x}{x-1}\right)^2 =\frac{x^2(x-1)^2+x^2(x+1)^2}{(x^2-1)^2} =\frac{2x^2(x^2+1)}{(x^2-1)^2}. $$

По условию

$$x=\sqrt{1-\frac1n}\cdot\left(1+\frac1n\right)^{-1/2},\qquad n>1,$$

значит

$$x^2=\frac{1-\frac1n}{1+\frac1n}=\frac{n-1}{n+1}.$$

Подставим это значение:

$$ \frac{2x^2(x^2+1)}{(x^2-1)^2} = \frac{2\cdot \frac{n-1}{n+1}\left(\frac{n-1}{n+1}+1\right)}{\left(\frac{n-1}{n+1}-1\right)^2}. $$

Вычислим:

$$ \frac{n-1}{n+1}+1=\frac{2n}{n+1},\qquad \frac{n-1}{n+1}-1=-\frac{2}{n+1}. $$

Тогда

$$ \frac{2\cdot \frac{n-1}{n+1}\cdot \frac{2n}{n+1}}{\left(-\frac{2}{n+1}\right)^2} = \frac{4n(n-1)}{(n+1)^2}\cdot \frac{(n+1)^2}{4} =n(n-1). $$

Следовательно, выражение равно $$n^2-n.$$

Ответ

а) $$4$$ при $$4\le a<8$$; $$2\sqrt{a-4}$$ при $$a\ge 8$$; б) $$n^2-n$$.