Упр.1033 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1033. Вычислите ((25-4в€љ6)^(1/6)-(1+2в€љ6)^(1/3))В·(1-2в€љ6)^(1/3).

Заметим, что

$$25-4\sqrt6=(1-2\sqrt6)^2,$$
$$1+2\sqrt6=(\sqrt[3]{1+2\sqrt6})^3.$$

Тогда

$$\sqrt[6]{25-4\sqrt6}=\sqrt[3]{1-2\sqrt6}.$$

Подставим это в выражение:

$$\left(\sqrt[3]{1-2\sqrt6}-\sqrt[3]{1+2\sqrt6}\right)\cdot \sqrt[3]{1-2\sqrt6}.$$

Обозначим

$$a=\sqrt[3]{1-2\sqrt6}, \quad b=\sqrt[3]{1+2\sqrt6}.$$

Тогда выражение равно

$$a(a-b)=a^2-ab.$$

Найдём произведение:

$$ab=\sqrt[3]{(1-2\sqrt6)(1+2\sqrt6)}=\sqrt[3]{1-24}=\sqrt[3]{-23}=-\sqrt[3]{23}.$$

Кроме того,

$$a^2=\sqrt[3]{(1-2\sqrt6)^2}=\sqrt[3]{25-4\sqrt6}.$$

Следовательно,

$$a^2-ab=\sqrt[3]{25-4\sqrt6}+\sqrt[3]{23}.$$

Ответ

$$\sqrt[3]{25-4\sqrt6}+\sqrt[3]{23}$$