Упр.1032 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) (a^(1/2)-b^(1/2))/(a^(1/4)-b^(1/4))-((a+(ab^3)^(1/4))/(a^(1/2)+(ab)^(1/4))-(ab)^(1/4))·(a^(1/4)-b^(1/4))^(-1);
б) (((x^(3/4)+a^(1/2)x^(1/4))(x^(1/2)+a^(1/2))^(-1))^2+x+3)/(x^(1/2)+3).

а) Обозначим $$u=a^{1/4}, \quad v=b^{1/4}.$$ Тогда $$a^{1/2}=u^2,\quad b^{1/2}=v^2,\quad (ab)^{1/4}=uv,\quad (ab^3)^{1/4}=uv^3.$$

Тогда выражение преобразуется так:

$$ \frac{a^{1/2}-b^{1/2}}{a^{1/4}-b^{1/4}} — \left( \frac{a+(ab^3)^{1/4}}{a^{1/2}+(ab)^{1/4}}-(ab)^{1/4} \right)\cdot (a^{1/4}-b^{1/4})^{-1} $$
$$ = \frac{u^2-v^2}{u-v} — \left( \frac{u^4+uv^3}{u^2+uv}-uv \right)\cdot \frac{1}{u-v}. $$

Упростим дроби:

$$ \frac{u^2-v^2}{u-v}=u+v, $$
$$ \frac{u^4+uv^3}{u^2+uv} = \frac{u(u^3+v^3)}{u(u+v)} = \frac{u^3+v^3}{u+v} = u^2-uv+v^2. $$

Тогда

$$ \left( \frac{u^4+uv^3}{u^2+uv}-uv \right) = u^2-2uv+v^2 = (u-v)^2. $$

Следовательно, всё выражение равно

$$ u+v-\frac{(u-v)^2}{u-v} = u+v-(u-v) = 2v. $$

Возвращаясь к исходным обозначениям, получаем:

$$ 2v=2b^{1/4}. $$

б) Рассмотрим выражение

$$ \frac{\left(\left(x^{3/4}+a^{1/2}x^{1/4}\right)\left(x^{1/2}+a^{1/2}\right)^{-1}\right)^2+x+3}{x^{1/2}+3}. $$

Вынесем общий множитель в числителе первой дроби:

$$ x^{3/4}+a^{1/2}x^{1/4}=x^{1/4}\left(x^{1/2}+a^{1/2}\right). $$

Тогда

$$ \left(x^{3/4}+a^{1/2}x^{1/4}\right)\left(x^{1/2}+a^{1/2}\right)^{-1} = x^{1/4}. $$

Следовательно, всё выражение упрощается до

$$ \frac{\left(x^{1/4}\right)^2+x+3}{x^{1/2}+3} = \frac{x^{1/2}+x+3}{x^{1/2}+3}. $$

Разделим числитель на знаменатель:

$$ \frac{x^{1/2}+x+3}{x^{1/2}+3}=x^{1/2}+1. $$

Ответ

а) $$2b^{1/4}$$;
б) $$x^{1/2}+1$$.