Упр.1032 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

В координатной плоскости отмечены точки $$M(2; 4)$$, $$N(-2; 3)$$, $$P(-2; -4)$$ и $$K(5; -3)$$. В какие точки они перейдут при повороте координатной плоскости около точки $$O$$ на угол $$\alpha$$, если: а) $$\alpha=\frac{\pi}{2}$$; в) $$\alpha=\pi$$; б) $$\alpha=-\frac{\pi}{2}$$; г) $$\alpha=-\pi$$?
Упростите выражение:
а) $$\frac{a^{1/2}-b^{1/2}}{a^{1/4}-b^{1/4}}-\left(\frac{a+(ab^3)^{1/4}}{a^{1/2}+(ab)^{1/4}}-(ab)^{1/4}\right)\cdot(a^{1/4}-b^{1/4})^{-1}$$;
б) $$\frac{\left((x^{3/4}+a^{1/2}x^{1/4})(x^{1/2}+a^{1/2})^{-1}\right)^2+x+3}{x^{1/2}+3}$$.

Подробный ответ

а) Обозначим $$u=a^{1/4}, \quad v=b^{1/4}.$$ Тогда $$a^{1/2}=u^2,\quad b^{1/2}=v^2,\quad (ab)^{1/4}=uv,\quad (ab^3)^{1/4}=uv^3.$$

Тогда выражение преобразуется так:

$$\frac{a^{1/2}-b^{1/2}}{a^{1/4}-b^{1/4}} — \left( \frac{a+(ab^3)^{1/4}}{a^{1/2}+(ab)^{1/4}}-(ab)^{1/4} \right)\cdot (a^{1/4}-b^{1/4})^{-1}$$
$$= \frac{u^2-v^2}{u-v} — \left( \frac{u^4+uv^3}{u^2+uv}-uv \right)\cdot \frac{1}{u-v}.$$

Упростим дроби:

$$\frac{u^2-v^2}{u-v}=u+v,$$
$$\frac{u^4+uv^3}{u^2+uv} = \frac{u(u^3+v^3)}{u(u+v)} = \frac{u^3+v^3}{u+v} = u^2-uv+v^2.$$

Тогда

$$\left( \frac{u^4+uv^3}{u^2+uv}-uv \right) = u^2-2uv+v^2 = (u-v)^2.$$

Следовательно, всё выражение равно

$$u+v-\frac{(u-v)^2}{u-v} = u+v-(u-v) = 2v.$$

Возвращаясь к исходным обозначениям, получаем:

$$2v=2b^{1/4}.$$

б) Рассмотрим выражение

$$\frac{\left(\left(x^{3/4}+a^{1/2}x^{1/4}\right)\left(x^{1/2}+a^{1/2}\right)^{-1}\right)^2+x+3}{x^{1/2}+3}.$$

Вынесем общий множитель в числителе первой дроби:

$$x^{3/4}+a^{1/2}x^{1/4}=x^{1/4}\left(x^{1/2}+a^{1/2}\right).$$