Упр.1031 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Координатная плоскость (рис. 118) поворачивается около точки O на угол $$?$$. В какие точки перейдут при этом точки $$A(4; 0)$$, $$B(0; 3)$$, $$C(-5; 0)$$ и $$D(0; -2)$$, если: а) $$?=?/2$$; б) $$?=-?/2$$; в) $$?=?$$; г) $$?=-??$$?
2. Найдите область определения функции $$y=(x^2-1)^{1/2}$$ и постройте её график.

Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{x^2-1}.$$

Чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, нужно:

$$x^2-1\ge 0$$

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\ge 0.$$

Произведение неотрицательно, когда оба множителя одного знака:

$$x\le -1 \quad \text{или} \quad x\ge 1.$$

Значит, область определения функции:

$$D(y)=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty).$$

Функция чётная, так как

$$y(-x)=\sqrt{(-x)^2-1}=\sqrt{x^2-1}=y(x).$$

Для построения графика отметим несколько точек:

$$x=\pm 1 \Rightarrow y=0,$$

$$x=\pm \sqrt{2} \Rightarrow y=1,$$

$$x=\pm \sqrt{5} \Rightarrow y=2.$$

График состоит из двух симметричных относительно оси $$Oy$$ ветвей, расположенных вне промежутка $$(-1,1)$$ и проходящих через точки $$(-1,0)$$ и $$(1,0).$$

Ответ

$$D(y)=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty).$$

График — две симметричные относительно оси $$Oy$$ ветви, проходящие через точки $$(-1,0)$$ и $$(1,0).$$