Упр.1029 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Углом какой четверти является угол поворота $$\alpha$$, если: а) $$\alpha=2{,}9\pi$$; б) $$\alpha=-3{,}1\pi$$; в) $$\alpha=4{,}3\pi$$; г) $$\alpha=-4{,}9\pi$$; д) $$\alpha=\frac{14\pi}{3}$$; е) $$\alpha=-\frac{7\pi}{3}$$?
2. Упростите выражение: а) $$\frac{a}{\sqrt{ab}+b}+\frac{b}{\sqrt{ab}-a}-\frac{a+b}{\sqrt{a}\sqrt{b}}$$; б) $$\left(\frac{\sqrt{a}+2}{a+2\sqrt{a}+1}-\frac{\sqrt{a}-2}{a-1}\right)\cdot\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}$$.

а) Пусть $$\sqrt{a}=x,\ \sqrt{b}=y.$$ Тогда $$a=x^2,\ b=y^2,\ \sqrt{ab}=xy.$$

Преобразуем выражение:

$$\frac{a}{\sqrt{ab}+b}+\frac{b}{\sqrt{ab}-a}-\frac{a+b}{\sqrt{ab}} = \frac{x^2}{xy+y^2}+\frac{y^2}{xy-x^2}-\frac{x^2+y^2}{xy}.$$

Вынесем множители в знаменателях:

$$\frac{x^2}{y(x+y)}+\frac{y^2}{x(y-x)}-\frac{x^2+y^2}{xy}.$$

Приведём к общему знаменателю $$xy(y-x)(x+y)$$:

$$\frac{x^3y(y-x)+xy^3(x+y)-(x^2+y^2)(y-x)(x+y)}{xy(y-x)(x+y)}.$$

После упрощения числителя получаем:

$$\frac{(x^2+y^2)(x+y)(x-y)}{xy(y-x)(x+y)}=-\frac{x^2+y^2}{xy}.$$

Возвращаясь к переменным $$a$$ и $$b$$, имеем:

$$-\frac{a+b}{\sqrt{ab}}.$$

б) Обозначим $$\sqrt{a}=x.$$ Тогда $$a=x^2$$, и выражение принимает вид:

$$\left(\frac{x+2}{x^2+2x+1}-\frac{x-2}{x^2-1}\right)\cdot \frac{x+1}{x}.$$

Разложим знаменатели на множители:

$$x^2+2x+1=(x+1)^2,\qquad x^2-1=(x-1)(x+1).$$

Тогда

$$\left(\frac{x+2}{(x+1)^2}-\frac{x-2}{(x-1)(x+1)}\right)\cdot \frac{x+1}{x}.$$

Приведём дроби в скобках к общему знаменателю $$(x-1)(x+1)^2$$:

$$\frac{(x+2)(x-1)-(x-2)(x+1)}{(x-1)(x+1)^2}\cdot \frac{x+1}{x}.$$

Упростим числитель:

$$(x+2)(x-1)-(x-2)(x+1)=x^2+x-2-(x^2-x-2)=2x.$$

Получаем:

$$\frac{2x}{(x-1)(x+1)^2}\cdot \frac{x+1}{x} = \frac{2}{(x-1)(x+1)}.$$

Возвращаясь к $$x=\sqrt{a}$$, имеем:

$$\frac{2}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)}=\frac{2}{a-1}.$$

Ответ

а) $$-\frac{a+b}{\sqrt{ab}}$$; б) $$\frac{2}{a-1}$$.