Упр.1026 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Один из углов равнобокой трапеции равен $$0,7?$$. Найдите остальные углы этой трапеции.
2. Упростите выражение $$\left(\frac{x^3-3x+(x^2-1)v(x^2-4)}{2}\right)^{1/3}+\left(\frac{x^3-3x-(x^2-1)v(x^2-4)}{2}\right)^{1/3}$$.

Обозначим

$$y=\sqrt[3]{\frac{x^3-3x+(x^2-1)\sqrt{x^2-4}}{2}}, \qquad z=\sqrt[3]{\frac{x^3-3x-(x^2-1)\sqrt{x^2-4}}{2}}.$$
Тогда требуется найти $$a=y+z$$.

Найдём сумму и произведение кубов:

$$y^3+z^3=\frac{x^3-3x+(x^2-1)\sqrt{x^2-4}}{2}+\frac{x^3-3x-(x^2-1)\sqrt{x^2-4}}{2}=x^3-3x.$$

$$y^3z^3=\frac{(x^3-3x)^2-(x^2-1)^2(x^2-4)}{4}.$$

Упростим выражение под корнем:

$$(x^3-3x)^2-(x^2-1)^2(x^2-4)=4.$$
Следовательно,
$$y^3z^3=\frac{4}{4}=1,$$
значит
$$yz=1.$$

Теперь возведём $$a=y+z$$ в куб:

$$a^3=(y+z)^3=y^3+3y^2z+3yz^2+z^3=y^3+z^3+3yz(y+z).$$
$$a^3=(x^3-3x)+3a.$$

Получаем уравнение:

$$a^3-3a=x^3-3x.$$

Подходит значение $$a=x$$, так как тогда

$$x^3-3x=x^3-3x.$$

Следовательно, исходное выражение равно $$x$$.

Ответ

$$x$$