Упр.1026 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1026. Упростите выражение ((x^3-3x+(x^2-1)v(x^2-4))/2)^(1/3)+((x^3-3x-(x^2-1)v(x^2-4))/2)^(1/3).

Обозначим

$$ y=\sqrt[3]{\frac{x^3-3x+(x^2-1)\sqrt{x^2-4}}{2}}, \qquad z=\sqrt[3]{\frac{x^3-3x-(x^2-1)\sqrt{x^2-4}}{2}}. $$
Тогда требуется найти $$a=y+z$$.

Найдём сумму и произведение кубов:

$$ y^3+z^3=\frac{x^3-3x+(x^2-1)\sqrt{x^2-4}}{2}+\frac{x^3-3x-(x^2-1)\sqrt{x^2-4}}{2}=x^3-3x. $$

$$ y^3z^3=\frac{(x^3-3x)^2-(x^2-1)^2(x^2-4)}{4}. $$

Упростим выражение под корнем:

$$ (x^3-3x)^2-(x^2-1)^2(x^2-4)=4. $$
Следовательно,
$$ y^3z^3=\frac{4}{4}=1, $$
значит
$$ yz=1. $$

Теперь возведём $$a=y+z$$ в куб:

$$ a^3=(y+z)^3=y^3+3y^2z+3yz^2+z^3=y^3+z^3+3yz(y+z). $$
$$ a^3=(x^3-3x)+3a. $$

Получаем уравнение:

$$ a^3-3a=x^3-3x. $$

Подходит значение $$a=x$$, так как тогда

$$ x^3-3x=x^3-3x. $$

Следовательно, исходное выражение равно $$x$$.

Ответ

$$x$$