Упр.1025 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) (x^(-0,4)+y^(-0,4))^(-1)(xy^(-0,2)+x^(-0,2)y)/(x^0,8-x^0,4 y^0,4+y^0,8);
б) (y+2+(y^2-4)^0,5)/(y+2-(y^2-4)^0,5)+(y+2-(y^2-4)^0,5)/(y+2+(y^2-4)^0,5);
в) (((a+b)^(-0,5)+(a-b)^(-0,5))^(-1)+((a+b)^(-0,5)-(a-b)^(-0,5))^(-1))/(((a+b)^(-0,5)+(a-b)^(-0,5))^(-1)-((a+b)^(-0,5)-(a-b)^(-0,5))^(-1)).

Подробный ответ

а)
$$\frac{\left(x^{-0,4}+y^{-0,4}\right)^{-1}\left(xy^{-0,2}+x^{-0,2}y\right)}{x^{0,8}-x^{0,4}y^{0,4}+y^{0,8}}$$
$$=\left(\frac1{x^{0,4}}+\frac1{y^{0,4}}\right)^{-1}\cdot\left(\frac{x}{y^{0,2}}+\frac{y}{x^{0,2}}\right)\cdot\frac1{x^{0,8}-(xy)^{0,4}+y^{0,8}}$$
$$=\frac{x^{0,4}y^{0,4}}{x^{0,4}+y^{0,4}}\cdot\frac{x^{1,2}+y^{1,2}}{x^{0,2}y^{0,2}}\cdot\frac1{(x^{0,4})^2-x^{0,4}y^{0,4}+ (y^{0,4})^2}$$
$$=\frac{x^{0,2}y^{0,2}(x^{1,2}+y^{1,2})}{(x^{0,4})^3+(y^{0,4})^3}=x^{0,2}y^{0,2}.$$
б)
$$\frac{y+2+\sqrt{y^2-4}}{y+2-\sqrt{y^2-4}}+\frac{y+2-\sqrt{y^2-4}}{y+2+\sqrt{y^2-4}}$$
$$=\frac{\left(y+2+\sqrt{y^2-4}\right)^2+\left(y+2-\sqrt{y^2-4}\right)^2}{\left(y+2-\sqrt{y^2-4}\right)\left(y+2+\sqrt{y^2-4}\right)}$$
$$=\frac{2(y+2)^2+2(y^2-4)}{(y+2)^2-(y^2-4)}$$
$$=\frac{2y^2+8y+8+2y^2-8}{y^2+4y+4-y^2+4}$$
$$=\frac{4y^2+8y}{4y+8}=\frac{4y(y+2)}{4(y+2)}=y.$$
в)
Обозначим
$$u=(a+b)^{-0,5}, \quad v=(a-b)^{-0,5}.$$
Тогда
$$\frac{(u+v)^{-1}+(u-v)^{-1}}{(u+v)^{-1}-(u-v)^{-1}}$$
$$=\frac{\frac1{u+v}+\frac1{u-v}}{\frac1{u+v}-\frac1{u-v}}$$
$$=\frac{(u-v)+(u+v)}{(u-v)-(u+v)}=\frac{2u}{-2v}=-\frac{u}{v}.$$
Подставим выражения для $u$ и $v$:
$$-\frac{(a+b)^{-0,5}}{(a-b)^{-0,5}}=-\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}.$$