Упр.1020 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Сколько общих точек имеют: а) прямая $$x+2y=5$$ и окружность $$x^2+y^2=5$$; б) окружность $$x^2+y^2=10$$ и прямая $$x-3y=9$$; в) прямая $$x-y=6$$ и парабола $$y=x^2+10$$; г) парабола $$x=y^2-5$$ и окружность $$x^2+y^2=100$$?
2. Представьте в виде куба суммы: а) $$ava+3avb+3bva+bvb$$; б) $$x+3\left(x^2y\right)^{1/3}+3\left(xy^2\right)^{1/3}+y$$.

Используем формулу куба суммы:

$$(u+v)^3=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3.$$

1. а) Пусть $$u=\sqrt{a}$$, $$v=\sqrt{b}$$. Тогда

   $$a\sqrt{a}+3a\sqrt{b}+3b\sqrt{a}+b\sqrt{b} =(\sqrt{a})^3+3(\sqrt{a})^2\sqrt{b}+3\sqrt{a}(\sqrt{b})^2+(\sqrt{b})^3.$$

   Следовательно,

   $$a\sqrt{a}+3a\sqrt{b}+3b\sqrt{a}+b\sqrt{b}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^3.$$

2. б) Пусть $$u=\sqrt[3]{x}$$, $$v=\sqrt[3]{y}$$. Тогда

   $$x+3\sqrt[3]{x^2y}+3\sqrt[3]{xy^2}+y =(\sqrt[3]{x})^3+3(\sqrt[3]{x})^2\sqrt[3]{y}+3\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{y})^2+(\sqrt[3]{y})^3.$$

   Следовательно,

   $$x+3\sqrt[3]{x^2y}+3\sqrt[3]{xy^2}+y=(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})^3.$$

Ответ

а) $$\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^3$$; б) $$\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}\right)^3$$.