Упр.1019 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Упростите выражение $$\left(\frac{y^{1/2}}{x^{1/2}+y^{1/2}}-\frac{x^{1/2}+y^{1/2}}{x^{1/2}}\right):\frac{x^{3/2}-y^{3/2}}{x^{1/2}}.$$
2. Представьте в виде квадрата суммы:
   а) $$a+b+2\sqrt{ab}+2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+1$$;
   б) $$\sqrt{a}+b+1+2\sqrt[4]{ab^2}-2\sqrt[4]{a}-2\sqrt{b}.$$

а) Преобразуем выражение, выделяя полный квадрат:

$$a+b+2\sqrt{ab}+2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+1$$

$$=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2+2(\sqrt{a}+\sqrt{b})+1$$

$$=(\sqrt{a}+\sqrt{b}+1)^2$$

б) Сгруппируем слагаемые:

$$\sqrt{a}+b+1+2\sqrt[4]{ab^2}-2\sqrt[4]{a}-2\sqrt{b}$$

Заметим, что

$$2\sqrt[4]{ab^2}=2\sqrt[4]{a}\sqrt{b}$$

Тогда

$$\sqrt{a}+b+1+2\sqrt[4]{ab^2}-2\sqrt[4]{a}-2\sqrt{b}$$

$$=(\sqrt[4]{a}+\sqrt{b})^2-2(\sqrt[4]{a}+\sqrt{b})+1$$

$$=(\sqrt[4]{a}+\sqrt{b}-1)^2$$

Ответ

а) $$\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+1\right)^2$$

б) $$\left(\sqrt[4]{a}+\sqrt{b}-1\right)^2$$