Упр.1018 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что функция $$y=n^2-2n+1$$, где $$n$$ — натуральное число, обратима. Постройте её график и график обратной ей функции. Задайте обратную функцию формулой.
2. Сократите дробь:
   а) $$\frac{a^{1/4}+b^{1/3}}{\sqrt{a}-(b^2)^{1/3}}$$;
   б) $$\frac{a-b}{a^{1/4}+b^{1/4}}$$;
   в) $$\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$$;
   г) $$\frac{x+3\sqrt[3]{x^2y}+3\sqrt[3]{xy^2}+y}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+2\sqrt[3]{xy}}$$.

а) Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

$$\frac{\sqrt[4]{a}+\sqrt[3]{b}}{\sqrt{a}-\sqrt[3]{b^2}} = \frac{\sqrt[4]{a}+\sqrt[3]{b}}{(\sqrt[4]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b})} = \frac{1}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b}}.$$

б) Представим разность квадратов:

$$\frac{a-b}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}} = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}.$$

Так как $$a=(\sqrt[4]{a})^4$$ и $$b=(\sqrt[4]{b})^4$$, то

$$\sqrt{a}-\sqrt{b}=(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}).$$

Тогда

$$\frac{a-b}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}} = (\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}).$$

в) Вынесем общий множитель:

$$\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(a+\sqrt{ab}+b)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = a+\sqrt{ab}+b.$$

г) Обозначим $$u=\sqrt[3]{x}$$, $$v=\sqrt[3]{y}$$. Тогда

$$x+3\sqrt[3]{x^2y}+3\sqrt[3]{xy^2}+y = u^3+3u^2v+3uv^2+v^3 = (u+v)^3,$$

а знаменатель равен

$$\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+2\sqrt[3]{xy} = u^2+v^2+2uv = (u+v)^2.$$

Следовательно,

$$\frac{x+3\sqrt[3]{x^2y}+3\sqrt[3]{xy^2}+y}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+2\sqrt[3]{xy}} = \frac{(u+v)^3}{(u+v)^2} = u+v = \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b}}$$; б) $$(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$; в) $$a+\sqrt{ab}+b$$; г) $$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}$$.