Упр.1018 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) (a^(1/4)+b^(1/3))/(va-(b^2)^(1/3)); б) (a-b)/(a^(1/4)+b^(1/4));
в) (ava-bvb)/(va-vb); г) (x+3v(x^2 y)+3v(xy^2)+y)/((x^2)^(1/3)+(y^2)^(1/3)+2(xy)^(1/3)).

а) Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

$$ \frac{\sqrt[4]{a}+\sqrt[3]{b}}{\sqrt{a}-\sqrt[3]{b^2}} = \frac{\sqrt[4]{a}+\sqrt[3]{b}}{(\sqrt[4]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b})} = \frac{1}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b}}. $$

б) Представим разность квадратов:

$$ \frac{a-b}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}} = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}. $$

Так как $$a=(\sqrt[4]{a})^4$$ и $$b=(\sqrt[4]{b})^4$$, то

$$ \sqrt{a}-\sqrt{b}=(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}). $$

Тогда

$$ \frac{a-b}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}} = (\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}). $$

в) Вынесем общий множитель:

$$ \frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(a+\sqrt{ab}+b)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = a+\sqrt{ab}+b. $$

г) Обозначим $$u=\sqrt[3]{x}$$, $$v=\sqrt[3]{y}$$. Тогда

$$ x+3\sqrt[3]{x^2y}+3\sqrt[3]{xy^2}+y = u^3+3u^2v+3uv^2+v^3 = (u+v)^3, $$

а знаменатель равен

$$ \sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+2\sqrt[3]{xy} = u^2+v^2+2uv = (u+v)^2. $$

Следовательно,

$$ \frac{x+3\sqrt[3]{x^2y}+3\sqrt[3]{xy^2}+y}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+2\sqrt[3]{xy}} = \frac{(u+v)^3}{(u+v)^2} = u+v = \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}. $$

Ответ

а) $$\frac{1}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b}}$$; б) $$(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$; в) $$a+\sqrt{ab}+b$$; г) $$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}$$.