Упр.1017 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) (99+70v2)^(1/6)=v2+1; б) (26-15v3)^(1/3)/(97-56v3)^(1/4)=1.

а)

$$99+70\sqrt2=49+50+70\sqrt2=(7+5\sqrt2)^2.$$

Тогда
$$\sqrt[6]{99+70\sqrt2}=\sqrt[6]{(7+5\sqrt2)^2}=\sqrt[3]{7+5\sqrt2}.$$

Проверим, что
$$7+5\sqrt2=(1+\sqrt2)^3,$$
так как
$$ (1+\sqrt2)^3=1+3\sqrt2+6+2\sqrt2=7+5\sqrt2. $$
Следовательно,
$$ \sqrt[3]{7+5\sqrt2}=\sqrt2+1. $$
Значит,
$$\sqrt[6]{99+70\sqrt2}=\sqrt2+1.$$

б)

$$26-15\sqrt3=18+8-15\sqrt3=(2-\sqrt3)^3,$$
так как
$$ (2-\sqrt3)^3=8-12\sqrt3+18-3\sqrt3=26-15\sqrt3. $$

$$97-56\sqrt3=48+49-56\sqrt3=(7-4\sqrt3)^2,$$
так как
$$ (7-4\sqrt3)^2=49-56\sqrt3+48=97-56\sqrt3. $$

Тогда
$$ \frac{\sqrt[3]{26-15\sqrt3}}{\sqrt[4]{97-56\sqrt3}} = \frac{\sqrt[3]{(2-\sqrt3)^3}}{\sqrt[4]{(7-4\sqrt3)^2}} = \frac{2-\sqrt3}{\sqrt{7-4\sqrt3}}. $$

Заметим, что
$$ 7-4\sqrt3=(2-\sqrt3)^2, $$
поскольку
$$ (2-\sqrt3)^2=4-4\sqrt3+3=7-4\sqrt3. $$
Значит,
$$ \frac{2-\sqrt3}{\sqrt{7-4\sqrt3}} = \frac{2-\sqrt3}{\sqrt{(2-\sqrt3)^2}} = \frac{2-\sqrt3}{2-\sqrt3} =1. $$

Ответ

а) $$\sqrt[6]{99+70\sqrt2}=\sqrt2+1$$; б) $$\dfrac{\sqrt[3]{26-15\sqrt3}}{\sqrt[4]{97-56\sqrt3}}=1$$.