Упр.1014 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1014. Найдите значение корня (1/3 (11…1-33…300…0))^(1/3) (n?N).

Обозначим число, записанное в виде $$11\ldots1$$ с $$3n$$ единицами, как
$$\frac{10^{3n}-1}{9},$$
число $$33\ldots3$$ с $$n$$ тройками — как
$$3\cdot \frac{10^n-1}{9},$$
а число $$00\ldots0$$ не влияет на значение выражения.

Тогда подкоренное выражение можно записать так:
$$ \sqrt[3]{\frac13\left(\frac{10^{3n}-1}{9}-3\cdot\frac{10^{2n}-1}{9}+3\cdot\frac{10^n-1}{9}\right)}. $$

Приведём подобные:
$$ \sqrt[3]{\frac1{27}\left(10^{3n}-3\cdot10^{2n}+3\cdot10^n-1\right)}. $$

Заметим, что
$$ 10^{3n}-3\cdot10^{2n}+3\cdot10^n-1=(10^n-1)^3. $$
Тогда
$$ \sqrt[3]{\frac1{27}(10^n-1)^3} =\frac13(10^n-1). $$

Число $$\frac13(10^n-1)$$ — это запись числа $$33\ldots3$$ с $$n$$ тройками.

Ответ

$$33\ldots3$$ с $$n$$ тройками.