Упр.1014 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Представьте угол поворота $$\alpha$$ в виде $$\alpha_0+360^\circ n$$, где $$0^\circ\leq\alpha_0<360^\circ$$ и $$n$$ — целое число, если:
   а) $$\alpha=1100^\circ$$; б) $$\alpha=-672^\circ$$; в) $$\alpha=2150^\circ$$; г) $$\alpha=-3400^\circ$$; д) $$\alpha=4322^\circ$$; е) $$\alpha=-3960^\circ$$.
2. Найдите значение корня $$\sqrt[3]{\frac{1}{3}\left(11\ldots1-33\ldots300\ldots0\right)}$$, $$n\in\mathbb{N}$$.

Обозначим число, записанное в виде $$11\ldots1$$ с $$3n$$ единицами, как
$$\frac{10^{3n}-1}{9},$$
число $$33\ldots3$$ с $$n$$ тройками — как
$$3\cdot \frac{10^n-1}{9},$$
а число $$00\ldots0$$ не влияет на значение выражения.

Тогда подкоренное выражение можно записать так:
$$\sqrt[3]{\frac13\left(\frac{10^{3n}-1}{9}-3\cdot\frac{10^{2n}-1}{9}+3\cdot\frac{10^n-1}{9}\right)}.$$

Приведём подобные:
$$\sqrt[3]{\frac1{27}\left(10^{3n}-3\cdot10^{2n}+3\cdot10^n-1\right)}.$$

Заметим, что
$$10^{3n}-3\cdot10^{2n}+3\cdot10^n-1=(10^n-1)^3.$$
Тогда
$$\sqrt[3]{\frac1{27}(10^n-1)^3} =\frac13(10^n-1).$$

Число $$\frac13(10^n-1)$$ — это запись числа $$33\ldots3$$ с $$n$$ тройками.

Ответ

$$33\ldots3$$ с $$n$$ тройками.