Упр.1012 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) v(2+v3)·v(2+v(2+v3))·v(2-v(2+v3));
б) (21+v5)^(1/4)·(5+v(4+v5))^(1/4)·(5-v(4+v5))^(1/4).

а)

$$ \sqrt{2+\sqrt3}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt3}} $$
Сгруппируем два последних множителя:
$$ \sqrt{2+\sqrt3}\cdot \sqrt{\left(2+\sqrt{2+\sqrt3}\right)\left(2-\sqrt{2+\sqrt3}\right)} $$
По формуле разности квадратов:
$$ \left(2+\sqrt{2+\sqrt3}\right)\left(2-\sqrt{2+\sqrt3}\right)=4-\left(2+\sqrt3\right)=2-\sqrt3 $$
Тогда
$$ \sqrt{2+\sqrt3}\cdot \sqrt{2-\sqrt3} = \sqrt{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)} = \sqrt{4-3} = 1 $$

б)

$$ \sqrt[4]{21+\sqrt5}\cdot \sqrt[4]{5+\sqrt{4+\sqrt5}}\cdot \sqrt[4]{5-\sqrt{4+\sqrt5}} $$
Сгруппируем два последних множителя:
$$ \sqrt[4]{21+\sqrt5}\cdot \sqrt[4]{\left(5+\sqrt{4+\sqrt5}\right)\left(5-\sqrt{4+\sqrt5}\right)} $$
Используем формулу разности квадратов:
$$ \left(5+\sqrt{4+\sqrt5}\right)\left(5-\sqrt{4+\sqrt5}\right)=25-(4+\sqrt5)=21-\sqrt5 $$
Тогда
$$ \sqrt[4]{21+\sqrt5}\cdot \sqrt[4]{21-\sqrt5} = \sqrt[4]{(21+\sqrt5)(21-\sqrt5)} = \sqrt[4]{441-5} = \sqrt[4]{436} $$

Ответ

а) $$1$$; б) $$\sqrt[4]{436}$$.