Упр.1010 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1010. Подберите такие значения a и b, чтобы равенство (9v3-11v2)^(1/3)=av2+bv3 было верным.

Пусть

$$\sqrt[3]{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}=a\sqrt{2}+b\sqrt{3}.$$

Возведём обе части в куб:

$$9\sqrt{3}-11\sqrt{2}=(a\sqrt{2}+b\sqrt{3})^3.$$

Раскроем куб суммы:

$$ (a\sqrt{2}+b\sqrt{3})^3 =2\sqrt{2}a^3+6\sqrt{3}a^2b+9\sqrt{2}ab^2+3\sqrt{3}b^3. $$

Сгруппируем слагаемые при $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$:

$$ 9\sqrt{3}-11\sqrt{2} =(6a^2b+3b^3)\sqrt{3}+(2a^3+9ab^2)\sqrt{2}. $$

Тогда получаем систему:

$$ \begin{cases} 6a^2b+3b^3=9,\\ 2a^3+9ab^2=-11. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$3b(2a^2+b^2)=9,$$

откуда

$$b(2a^2+b^2)=3.$$

Проверим целые значения. При $b=1$ из первого уравнения:

$$2a^2+1=3,$$

$$a^2=1,$$

значит, $a=\pm1$.

Подставим во второе уравнение:

$$2a^3+9a=-11.$$

При $a=-1$ получаем:

$$2(-1)^3+9(-1)=-2-9=-11,$$

что подходит.

Следовательно,

$$a=-1,\quad b=1.$$

Ответ

$$a=-1,\ b=1.$$