Упр.1009 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) v(2+v3)=v(3/2)+v(1/2); б) v(2-v3)=v(3/2)-v(1/2).

а) Возведём в квадрат правую часть:

$$ \left(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2 = \frac{3}{2}+\frac{1}{2}+2\sqrt{\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}} = 2+2\sqrt{\frac{3}{4}} = 2+\sqrt{3}. $$

Значит,

$$ \sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}. $$

б) Аналогично:

$$ \left(\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2 = \frac{3}{2}+\frac{1}{2}-2\sqrt{\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}} = 2-2\sqrt{\frac{3}{4}} = 2-\sqrt{3}. $$

Следовательно,

$$ \sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}. $$

Ответ

$$ \sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}},\qquad \sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}. $$