Упр.1009 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите множество решений неравенства $$x^{1/2}+x^{-1/2}<\frac{4}{\sqrt{x}}-1$$.
2. Докажите, что верно равенство:
   а) $$\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}$$;
   б) $$\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$$.

а) Возведём в квадрат правую часть:

$$\left(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2 = \frac{3}{2}+\frac{1}{2}+2\sqrt{\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}} = 2+2\sqrt{\frac{3}{4}} = 2+\sqrt{3}.$$

Значит,

$$\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}.$$

б) Аналогично:

$$\left(\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2 = \frac{3}{2}+\frac{1}{2}-2\sqrt{\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}} = 2-2\sqrt{\frac{3}{4}} = 2-\sqrt{3}.$$

Следовательно,

$$\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}.$$

Ответ

$$\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}},\qquad \sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}.$$