Упр.1004 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) y=((x+2)/(x^2-4))^(1/3); в) y=((x-3)/(|x|-3))^(1/5);
б) y=((x-2)/(x+3))^(1/4); г) y=(x^3-5x^2+6x)^(1/6).

Подробный ответ

а) $$y=\sqrt[3]{\frac{x+2}{x^2-4}}$$
Для кубического корня ограничений на знак подкоренного выражения нет, но знаменатель дроби не должен обращаться в нуль:
$$x^2-4\ne 0$$
$$x\ne -2,\; x\ne 2$$
Следовательно,
$$D(y)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty).$$
б) $$y=\sqrt[4]{\frac{x-2}{x+3}}$$
Для корня четной степени нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, а знаменатель — ненулевым:
$$\frac{x-2}{x+3}\ge 0,\qquad x\ne -3$$
Рассмотрим знаки числителя и знаменателя. Дробь неотрицательна при
$$x<-3 \quad \text{или} \quad x\ge 2.$$
Значит,
$$D(y)=(-\infty;-3)\cup[2;+\infty).$$
в) $$y=\sqrt[5]{\frac{x-3}{|x|-3}}$$
Пятый корень определён при любых значениях подкоренного выражения, но знаменатель не должен быть равен нулю:
$$|x|-3\ne 0$$
$$|x|\ne 3,\qquad x\ne \pm 3$$
Следовательно,
$$D(y)=(-\infty;-3)\cup(-3;3)\cup(3;+\infty).$$
г) $$y=\sqrt[6]{x^3-5x^2+6x}$$
Для корня чётной степени нужно:
$$x^3-5x^2+6x\ge 0$$
Разложим на множители:
$$x(x^2-5x+6)\ge 0$$
$$x(x-2)(x-3)\ge 0$$
Исследуем знак произведения. Получаем:
$$x\in[0;2]\cup[3;+\infty).$$