Упр.100 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Найдите наименьшее значение функции и значение аргумента, при котором функция это значение принимает: а) $$g(x)=|x-3|-2$$; в) $$g(x)=-\frac{4}{x^2-2x+2}$$; б) $$g(x)=\frac{x-3}{v(x-2)+1}$$; г) $$g(x)=\frac{2x^2-3}{x^2+1}$$.
Постройте график функции и перечислите свойства этой функции, если: а) $$y=0{,}25x^2-1{,}5x-1{,}75$$; б) $$y=-0{,}5x^2-2x+2$$.

Подробный ответ

а) $$y=0{,}25x^2-1{,}5x-1{,}75$$

Найдём нули функции:

$$0{,}25x^2-1{,}5x-1{,}75=0$$
$$x^2-6x-7=0$$
$$D=36+28=64$$
$$x_{1,2}=\frac{6\pm 8}{2}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=7$$

Координаты вершины параболы:

$$x_0=\frac{-(-1{,}5)}{2\cdot 0{,}25}=3$$
$$y_0=0{,}25\cdot 3^2-1{,}5\cdot 3-1{,}75=-4$$

Так как $$0{,}25>0$$, ветви параболы направлены вверх. Для построения удобно отметить точки $$(-1;0)$$, $$(7;0)$$, $$(0;-1{,}75)$$ и вершину $$(3;-4)$$.

Свойства функции:

$$D(x)=(-\infty;+\infty)$$;
$$y=0$$ при $$x=-1$$ и $$x=7$$;
$$y<0$$ при $$-1<x<7$$;
$$y>0$$ при $$x<-1$$ и $$x>7$$;
убывает на $$(-\infty;3]$$;
возрастает на $$[3;+\infty)$$;
наименьшее значение: $$y_{\min}=-4$$ при $$x=3$$;
$$E(y)=[-4;+\infty)$$.

б) $$y=-0{,}5x^2-2x+2$$

Найдём нули функции:

$$-0{,}5x^2-2x+2=0$$
$$x^2+4x-4=0$$
$$D=16+16=32$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{32}}{2}=-2\pm 2\sqrt{2}$$

Координаты вершины параболы:

$$x_0=\frac{-(-2)}{2\cdot(-0{,}5)}=-2$$
$$y_0=-0{,}5\cdot (-2)^2-2\cdot(-2)+2=4$$

Так как $$-0{,}5<0$$, ветви параболы направлены вниз. Для построения удобно отметить точки $$(-2-2\sqrt{2};0)$$, $$(-2+2\sqrt{2};0)$$, $$(0;2)$$ и вершину $$(-2;4)$$.

Свойства функции: