Упр.756 ГДЗ Макарычев Миндюк Феоктистов 9 класс (Алгебра)

1) Сумма первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле

$$S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1}.$$

Подставим известные значения:

$$31{,}5=0{,}5\cdot\frac{2^n-1}{2-1},$$
$$31{,}5=0{,}5(2^n-1),$$
$$31{,}5=0{,}5\cdot2^n-0{,}5,$$
$$32=0{,}5\cdot2^n,$$
$$2^n=64=2^6.$$

Следовательно, $$n=6$$.

2) Для суммы бесконечной геометрической прогрессии используем формулу

$$S_{\infty}=\frac{c_1}{1-q}.$$

Тогда

$$13\frac{1}{2}=\frac{9}{1-q},$$
$$\frac{27}{2}=\frac{9}{1-q},$$
$$1-q=\frac{2}{3},$$
$$q=\frac{1}{3}.$$

Используем формулу общего члена геометрической прогрессии:

$$c_n=c_1q^{n-1}.$$

Подставим значения:

$$\frac{1}{9}=9\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1},$$
$$\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{81} =\left(\frac{1}{3}\right)^4.$$

Значит, $$n-1=4$$, откуда $$n=5$$.

Ответ: 1) $$n=6$$; 2) $$q=\frac{1}{3},\ n=5$$.