Упр.1233 ГДЗ Макарычев Миндюк Феоктистов 9 класс (Алгебра)

а) Раскроем скобки и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$$\begin{aligned} (\sin\alpha-\sin\beta)^2+(\cos\alpha-\cos\beta)^2 &=\sin^2\alpha-2\sin\alpha\sin\beta+\sin^2\beta+\\ &\quad+\cos^2\alpha-2\cos\alpha\cos\beta+\cos^2\beta\\ &=2-2(\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta)\\ &=2-2\cos(\alpha-\beta). \end{aligned}$$

б) Преобразуем числитель и знаменатель дроби:

$$\begin{aligned} \frac{1-\cos2x+\sin2x}{1+\cos2x+\sin2x} &=\frac{1-(\cos^2x-\sin^2x)+2\sin x\cos x} {1+(\cos^2x-\sin^2x)+2\sin x\cos x}\\ &=\frac{2\sin^2x+2\sin x\cos x} {2\cos^2x+2\sin x\cos x}\\ &=\frac{2\sin x(\sin x+\cos x)} {2\cos x(\cos x+\sin x)}\\ &=\frac{\sin x}{\cos x}=\tg x. \end{aligned}$$

Преобразования верны при $$\cos x\ne0$$ и $$\sin x+\cos x\ne0$$.