Упр.1167 ГДЗ Макарычев Миндюк Феоктистов 9 класс (Алгебра)

Используем тождества $$1+\tg^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha},\qquad 1+\ctg^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}.$$

Так как $$\sin\alpha=\frac{2}{3},$$ то

$$\sin^2\alpha=\frac{4}{9},\qquad \cos^2\alpha=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}.$$

Тогда

$$\frac{1+\tg^2\alpha}{1+\ctg^2\alpha}-\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}-\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{4}{5}-\frac{5}{4} = \frac{16-25}{20} = -\frac{9}{20}.$$

Ответ: $$-\frac{9}{20}.$$