Вводные упражнения 15 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1/3;(-1/9);1/27;-1/81; … .
2. Найти разность выражений
2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + 2^7 и 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6.
3. Вычислить:
1) 1-(1/3)5;
2) 1-(2/7)2;
3) (1-(1/2)6):(1-1/2);
4) 1/3(1-(-1/3)4)/1-(-1/3).
4. Решить уравнение:
1) 3n = 243;
2) 5n-1=625.

1. Для геометрической прогрессии $$\frac13;\,-\frac19;\,\frac1{27};\,-\frac1{81};\ldots$$

   Находим знаменатель:

   $$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-\frac19}{\frac13}=-\frac13.$$

   Тогда формула n-го члена:

   $$b_n=b_1q^{n-1}=\frac13\left(-\frac13\right)^{n-1}.$$

2. Разность выражений:

   $$\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7\right)-\left(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6\right)$$

   После сокращения одинаковых слагаемых получаем:

   $$2^7-1=128-1=127.$$

3. Вычислим значения:

   1) $$1-\left(\frac13\right)^5=1-\frac1{243}=\frac{242}{243};$$

   2) $$1-\left(\frac27\right)^2=1-\frac4{49}=\frac{45}{49};$$

   3) $$\left(1-\left(\frac12\right)^6\right):\left(1-\frac12\right)=\left(1-\frac1{64}\right):\frac12=\frac{63}{64}\cdot 2=\frac{63}{32};$$

   4) $$\frac{\frac13\left(1-\left(-\frac13\right)^4\right)}{1-\left(-\frac13\right)}=\frac{\frac13\left(1-\frac1{81}\right)}{1+\frac13}=\frac{\frac13\cdot\frac{80}{81}}{\frac43}=\frac{20}{81}.$$

4. Решим уравнения:

   1) $$3^n=243=3^5,$$ значит, $$n=5.$$

   2) $$5^{n-1}=625=5^4,$$ значит, $$n-1=4,$$ откуда $$n=5.$$

Ответ

1) $$b_n=\frac13\left(-\frac13\right)^{n-1}$$; 2) $$127$$; 3) $$\frac{242}{243},\ \frac{45}{49},\ \frac{63}{32},\ \frac{20}{81}$$; 4) $$n=5,\ n=5$$.