Вводные упражнения 13 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
2) 3 + 5 + 7 + 9+11 + 13 + 15 + 17.
2. Найти n-й член арифметической прогрессии -7; -4; -1;
3. Найти первые пять членов арифметической прогрессии, у которой а1 = 1/2, d =-1/2.
4. Найти номер члена арифметической прогрессии, заданного формулой общего члена аn = 2/3*n + 5, если аn = 11.
5. Доказать, что в арифметической прогрессии а1 + аn = а2 + аn-1.

1. Найдём суммы рациональным способом:

   $$1+2+3+4+5+6+7+8+9=(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+5$$
   $$=10+10+10+10+5=4\cdot 10+5=45.$$

   $$3+5+7+9+11+13+15+17=(3+17)+(5+15)+(7+13)+(9+11)$$
   $$=20+20+20+20=4\cdot 20=80.$$

2. Для арифметической прогрессии $$-7;\,-4;\,-1;\,\ldots$$ имеем:

   $$a_1=-7,\quad a_2=-4,$$
   $$d=a_2-a_1=-4-(-7)=3.$$

   Тогда

   $$a_n=a_1+d(n-1)=-7+3(n-1)=3n-10.$$

3. Найдём первые пять членов прогрессии, если $$a_1=\frac12,\quad d=-\frac12.$$

   $$a_2=a_1+d=\frac12-\frac12=0,$$
   $$a_3=a_2+d=0-\frac12=-\frac12,$$
   $$a_4=a_3+d=-\frac12-\frac12=-1,$$
   $$a_5=a_4+d=-1-\frac12=-\frac32.$$

   Первые пять членов:

   $$\frac12;\ 0;\ -\frac12;\ -1;\ -\frac32.$$

4. Дано:

   $$a_n=\frac23n+5,\quad a_n=11.$$

   Решим уравнение:

   $$\frac23n+5=11$$
   $$\frac23n=6$$
   $$2n=18$$
   $$n=9.$$

5. Докажем, что в арифметической прогрессии

   $$a_1+a_n=a_2+a_{n-1}.$$

   Так как $$a_n=a_1+d(n-1),$$ то
   $$a_1+a_n=a_1+\bigl(a_1+d(n-1)\bigr)=2a_1+d(n-1).$$

   С другой стороны,
   $$a_2=a_1+d,\quad a_{n-1}=a_1+d(n-2),$$
   значит
   $$a_2+a_{n-1}=(a_1+d)+\bigl(a_1+d(n-2)\bigr)=2a_1+d(n-1).$$

   Следовательно,
   $$a_1+a_n=a_2+a_{n-1},$$
   что и требовалось доказать.

Ответ

1) $$45$$; $$80$$.
2) $$a_n=3n-10$$.
3) $$\frac12;\ 0;\ -\frac12;\ -1;\ -\frac32$$.
4) $$n=9$$.
5) $$a_1+a_n=a_2+a_{n-1}$$.