Вводные упражнения 15 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Задача

Записать формулу n-го члена геометрической прогрессии $$\frac{1}{3};\ -\frac{1}{9};\ \frac{1}{27};\ -\frac{1}{81};\ \ldots$$.
Найти разность выражений $$2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7$$ и $$1+2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6$$.
Вычислить:
1) $$1-\left(\frac{1}{3}\right)^5$$;
2) $$1-\left(\frac{2}{7}\right)^2$$;
3) $$\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^6\right):\left(1-\frac{1}{2}\right)$$;
4) $$\frac{1}{3}\left(1-\left(-\frac{1}{3}\right)^4\right)\mathbin{:}\left(1-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$$.
Решить уравнение:
1) $$3^n=243$$;
2) $$5^{n-1}=625$$.

Подробный ответ

Для геометрической прогрессии $$\frac13;\,-\frac19;\,\frac1{27};\,-\frac1{81};\ldots$$
Находим знаменатель:
$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-\frac19}{\frac13}=-\frac13.$$
Тогда формула n-го члена:
$$b_n=b_1q^{n-1}=\frac13\left(-\frac13\right)^{n-1}.$$
Разность выражений:
$$\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7\right)-\left(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6\right)$$
После сокращения одинаковых слагаемых получаем:
$$2^7-1=128-1=127.$$
Вычислим значения:
1) $$1-\left(\frac13\right)^5=1-\frac1{243}=\frac{242}{243};$$
2) $$1-\left(\frac27\right)^2=1-\frac4{49}=\frac{45}{49};$$
3) $$\left(1-\left(\frac12\right)^6\right):\left(1-\frac12\right)=\left(1-\frac1{64}\right):\frac12=\frac{63}{64}\cdot 2=\frac{63}{32};$$
4) $$\frac{\frac13\left(1-\left(-\frac13\right)^4\right)}{1-\left(-\frac13\right)}=\frac{\frac13\left(1-\frac1{81}\right)}{1+\frac13}=\frac{\frac13\cdot\frac{80}{81}}{\frac43}=\frac{20}{81}.$$
Решим уравнения:
1) $$3^n=243=3^5,$$ значит, $$n=5.$$
2) $$5^{n-1}=625=5^4,$$ значит, $$n-1=4,$$ откуда $$n=5.$$