Вводные упражнения 9 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Найти область определения функции:
   
   1) $$y=\frac{x}{2}$$;
   
   2) $$y=\frac{2}{5}x$$;
   
   3) $$y=\sqrt[3]{x+1}$$;
   
   4) $$y=\frac{1}{\sqrt{x}}$$.
2. Доказать, что функция $$y=x^{\frac{2}{3}}$$ возрастает при $$x\geq 0$$.
3. Доказать, что функция $$y=\frac{2}{3}x$$ является нечётной.
4. График функции $$y=\frac{k}{x}$$ проходит через точку $$(-2; 3)$$. Найти $$k$$.

1. Найдём область определения каждой функции.

   1) $$y=\frac{x^2}{2}$$ — многочлен, значит, определён при всех $$x\in \mathbb{R}$$.

   2) $$y=\frac{2}{5x}$$. Знаменатель не должен равняться нулю:

   $$5x\ne 0,\quad x\ne 0.$$

   Значит, область определения: $$x\in \mathbb{R},\ x\ne 0.$$

   3) $$y=\sqrt[3]{x+1}$$ — корень нечётной степени определён при всех действительных $$x$$, поэтому

   $$x\in \mathbb{R}.$$

   4) $$y=\frac{1}{\sqrt{x}}$$. Подкоренное выражение должно быть положительным, а знаменатель — не равен нулю:

   $$x>0.$$

2. Докажем, что функция $$y=\frac{x^2}{3}$$ возрастает при $$x\ge 0$$.

   Пусть $$x_2>x_1\ge 0$$. Тогда

   $$x_2^2>x_1^2,$$

   а значит,

   $$\frac{x_2^2}{3}>\frac{x_1^2}{3}.$$

   Следовательно, $$y(x_2)>y(x_1)$$, то есть функция возрастает при $$x\ge 0$$.

3. Рассмотрим функцию $$y=\frac{2}{3x}$$.

   Область определения: $$3x\ne 0,\quad x\ne 0.$$

   Проверим нечётность:

   $$y(-x)=\frac{2}{3(-x)}=-\frac{2}{3x}=-y(x).$$

   Значит, функция нечётная.

4. График функции $$y=\frac{k}{x}$$ проходит через точку $$(-2;3)$$, значит, координаты точки удовлетворяют уравнению:

   $$3=\frac{k}{-2}.$$

   Тогда

   $$k=3\cdot(-2)=-6.$$

Ответ

1) $$D(y)=\mathbb{R};\quad 2) D(y)=\mathbb{R}\setminus\{0\};\quad 3) D(y)=\mathbb{R};\quad 4) D(y)=(0;+\infty).$$

2) $$y=\frac{x^2}{3}$$ возрастает при $$x\ge 0$$.

3) Функция $$y=\frac{2}{3x}$$ нечётная.

4) $$k=-6.$$