Устные вопросы и задания 8 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Сформулировать определение чётной; нечётной функции.
2. Привести пример чётной функции; нечётной функции; функции, не являющейся ни чётной, ни нечётной.
3. Перечислить свойства функций: $$y=x$$; $$y=x^2$$; $$y=x^3$$; $$y=\sqrt[3]{x}$$.
4. Перечислить свойства функций $$y=x^{1/2}$$ и $$y=x^{1/3}$$.

1. Чётная функция — это функция, область определения которой симметрична относительно начала координат и для любого $$x$$ из области определения выполняется $$y(-x)=y(x)$$.

   Нечётная функция — это функция, область определения которой симметрична относительно начала координат и для любого $$x$$ из области определения выполняется $$y(-x)=-y(x)$$.

2. Примеры:

   • чётная функция: $$y=x^2+4$$;
   • нечётная функция: $$y=x^3-x^5$$;
   • ни чётная, ни нечётная: $$y=x^2+4x^3-5$$.

3. Свойства функций:

   • $$y=x$$
     
     $$D(y)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=(-\infty;+\infty)$$
     
     функция нечётная, возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$;
     
     $$y(x)>0$$ при $$x\in(0;+\infty)$$, $$y(x)<0$$ при $$x\in(-\infty;0)$$.
   • $$y=x^2$$
     
     $$D(y)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=[0;+\infty)$$
     
     функция чётная, убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty)$$;
     
     $$y(x)\ge 0$$ при всех $$x$$.
   • $$y=x^3$$
     
     $$D(y)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=(-\infty;+\infty)$$
     
     функция нечётная, возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$;
     
     $$y(x)>0$$ при $$x\in(0;+\infty)$$, $$y(x)<0$$ при $$x\in(-\infty;0)$$.
   • $$y=\sqrt[3]{x}$$
     
     $$D(y)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=(-\infty;+\infty)$$
     
     функция нечётная, возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$;
     
     $$y(x)>0$$ при $$x\in(0;+\infty)$$, $$y(x)<0$$ при $$x\in(-\infty;0)$$.

4. Свойства функций:

   • $$y=x^{1/2}=\sqrt{x}$$
     
     $$D(y)=[0;+\infty), \quad E(y)=[0;+\infty)$$
     
     функция не является ни чётной, ни нечётной, возрастает на $$[0;+\infty)$$;
     
     $$y(x)>0$$ при $$x\in(0;+\infty)$$.
   • $$y=x^{1/3}=\sqrt[3]{x}$$
     
     $$D(y)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=(-\infty;+\infty)$$
     
     функция нечётная, возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$;
     
     $$y(x)>0$$ при $$x\in(0;+\infty)$$, $$y(x)<0$$ при $$x\in(-\infty;0)$$.

Ответ

1) Чётная функция: $$y(-x)=y(x)$$; нечётная функция: $$y(-x)=-y(x)$$. 2) Примеры: $$y=x^2+4$$, $$y=x^3-x^5$$, $$y=x^2+4x^3-5$$. 3) и 4) Свойства функций приведены выше.