Устные вопросы и задания 27 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Любое утверждение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно, называется высказыванием.
2. Пример высказывания и его отрицания:

   $$v:\ \text{«две параллельные прямые пересекаются»;}$$

   $$\overline{v}:\ \text{«две параллельные прямые не пересекаются».}$$

3. Утверждения, зависящие от переменной, называют предложениями с переменной. Для одних значений переменной они истинны, а для других ложны.

   Пример: $$x>5,$$ $$x^2+y^2<1,$$ $$x\in \mathbb{Z}.$$

4. Множество истинности предложения $$p(x)$$ — это все и только те элементы множества $$X,$$ для которых предложение $$p(x)$$ истинно.
5. Каждое из множеств $$A$$ и $$\overline{A}$$ является дополнением другого до множества $$X$$:

   $$A\cup \overline{A}=X,\qquad A\cap \overline{A}=\varnothing.$$

6. Запись

   $$\forall x\, p(x)$$

   означает: предложение $$p(x)$$ верно для всех $$x\in X$$.

   Запись

   $$\exists x\, p(x)$$

   означает: предложение $$p(x)$$ верно хотя бы для одного $$x\in X$$.

7. Чтобы опровергнуть высказывание вида $$\forall x\, p(x),$$ достаточно привести контрпример, то есть пример невыполнения предложения $$p(x)$$ хотя бы для одного $$x\in X$$.
8. Запись

   $$\forall x\, p(x)\Rightarrow q(x),\quad x\in X$$

   читается так: для любого элемента $$x\in X$$ из предложения $$p(x)$$ следует предложение $$q(x)$$.

   Запись

   $$\exists x\, p(x)\Rightarrow q(x),\quad x\in X$$

   читается так: хотя бы для одного элемента $$x\in X$$ из предложения $$p(x)$$ следует предложение $$q(x)$$.

9. В символической записи теоремы $$p(x)\Rightarrow q(x)$$ предложение $$p(x)$$ называется условием теоремы, а предложение $$q(x)$$ — заключением теоремы.
10. Теорема вида $$q(x)\Rightarrow p(x)$$ называется обратной по отношению к теореме вида $$p(x)\Rightarrow q(x)$$.
11. Доказательство теоремы методом от противного состоит в том, что вместо прямой теоремы $$p(x)\Rightarrow q(x)$$ доказывают противоположную обратной теорему $$\overline{q}(x)\Rightarrow \overline{p}(x)$$.

    Этот метод используют, когда прямое доказательство затруднительно.

Ответ

1) Высказывание — это утверждение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.

2) Пример: $$v:\ \text{«две параллельные прямые пересекаются»},\ \overline{v}:\ \text{«две параллельные прямые не пересекаются»}.$$

3) Предложения с переменной — это утверждения, истинность которых зависит от значения переменной.

4) Множество истинности $$p(x)$$ — множество всех $$x\in X,$$ при которых $$p(x)$$ истинно.

5) $$A\cup \overline{A}=X,\quad A\cap \overline{A}=\varnothing.$$

6) $$\forall x\, p(x)$$ — для всех $$x\in X$$; $$\exists x\, p(x)$$ — существует хотя бы один $$x\in X$$.

7) Контрпримером.

8) $$\forall x\, p(x)\Rightarrow q(x)$$ — для любого $$x\in X$$ из $$p(x)$$ следует $$q(x)$$; $$\exists x\, p(x)\Rightarrow q(x)$$ — хотя бы для одного $$x\in X$$ из $$p(x)$$ следует $$q(x)$$.

9) $$p(x)$$ — условие теоремы, $$q(x)$$ — заключение теоремы.

10) Обратная теорема.

11) Метод от противного: доказывают не прямую теорему, а противоположную обратной, то есть $$\overline{q}(x)\Rightarrow \overline{p}(x).$$