Устные вопросы и задания 3 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

2. Назвать свойства, которые применены при нахождении корней в каждом из примеров 1—5 текста параграфа.
3. Почему в условии задачи в тексте параграфа подчёркивается, что значения букв а и b, входящих в выражение, положительны?

1. Свойства арифметического корня натуральной степени:

   $$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}, \quad a\ge 0,\ b\ge 0,$$
   $$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, \quad a\ge 0,\ b>0,$$
   $$\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}, \quad a\ge 0,$$
   $$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[nm]{a}, \quad a\ge 0.$$

2. В примерах 1—5 текста параграфа применены такие свойства:

   1. $$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$$
   2. $$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$$
   3. $$\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}$$
   4. $$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[nm]{a}$$
   5. $$\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}$$

3. Условие $$a>0,\ b>0$$ подчёркивается потому, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными, а в некоторых преобразованиях нужны ещё и положительные значения знаменателя или множителей.

   Например, если $$a<0$$, то выражение вида $$\sqrt[3]{a^3b^2}$$ может не иметь смысла в рамках рассматриваемых свойств; если $$b<0$$, то при преобразованиях с чётным корнем могут возникнуть нарушения области определения и знака результата.

Ответ

1) $$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$$, $$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$$, $$\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}$$, $$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[nm]{a}$$.

2) В примерах 1—5 использованы именно эти свойства корней.

3) Потому что для применения свойств корней и сохранения смысла выражений требуется, чтобы подкоренные выражения были допустимы; при отрицательных значениях $$a$$ или $$b$$ это может нарушаться.